Ein Dreieck hat einen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt und zwei Scheitelpunkte auf dem Kreis. Können die drei eingeschlossenen Regionen rationale Bereiche haben?

Ein Dreieck hat einen Scheitelpunkt im Kreismittelpunkt und zwei Scheitelpunkte auf dem Kreis. Können die drei eingeschlossenen Regionen rationale Bereiche haben?

Lassen$r=$Kreisradius,$\theta=$Winkel an der Spitze des Dreiecks im Mittelpunkt des Kreises.

Angenommen, die drei Regionen haben rationale Bereiche. Die Fläche des Kreises ist also rational$r^2$ist ein rationales Vielfaches von$1/\pi$. Dann (da die Fläche des Dreiecks rational ist)$\sin\theta$ist ein rationales Vielfaches von$\pi$, und (da die Fläche des Segments rational ist)$\theta$ist ein rationales Vielfaches von$\pi$.

Also ich denke, die Frage ist äquivalent zu:

Kann$\theta$Und$\sin\theta$beide sind rationale Vielfache von$\pi$? ($0<\theta<\pi$)

Ich habe über Nivens Theorem nachgedacht , aber es scheint nicht zu helfen.

(Ich vermute, die Antwort ist nein.)