Die durchschnittliche Fläche des Schattens eines Quadrats

Diese Frage ergibt sich aus meinem Versuch, das Problem der durchschnittlichen Fläche eines Würfels auf unkonventionelle Weise zu lösen. Da der Schatten des Würfels aus den Schatten von 3 seiner quadratischen Flächen besteht, versuche ich, die durchschnittliche Fläche der Schatten jedes dieser Quadrate zu berechnen, sie mit drei zu multiplizieren und die Antwort zu erhalten$\frac{3s^2}{2}$. Das bedeutet, dass die durchschnittliche Fläche des Schattens ein Quadrat sein sollte$\frac{s^2}{2}$, was intuitiv sinnvoll ist, aber ich möchte es mathematisch beweisen, was mir schwer fällt. Hier ist meine bisherige Arbeit:

Betrachten Sie ein Quadrat$\mathrm{S}$mit Seitenlängen$s$das ist in beiden aufgehoben$\mathrm{x}$Und$\mathrm{y}$Wegbeschreibung durch$\theta_1$Und$\theta_2$Grad respektvoll. Dann für diese$\theta$Werte, die Fläche des Quadrats wird$s^2\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2$, wie durch Trigonometrie bestimmt werden kann (ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypotenuse von$s$, Winkel$\theta$, und Seite$x$neben dem Winkel gibt$x=s\mathrm{cos}\theta$). Der Medianwert von$\mathrm{cos}\theta$auf dem Intervall$[0, \pi/2]$Ist$\frac{\sqrt{2}}{2}$(erscheint bei$\frac{\pi}{4}$).

Hier ist der Teil, den ich nicht ganz verstehe:

Lassen$\mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}$eine Funktion eines Quadrats sein$\mathrm{S}$das wurde von aufgehoben$\theta_a$Und$\theta_b$auf der$\mathrm{x}$-Achse und$\mathrm{y}$-Achse bzw. Um die durchschnittliche Fläche dieses Quadrats zu finden, können wir Folgendes tun:

$$\frac{\iint_R \mathrm{A(S_{(\theta_a, \theta_b)})}dA}{R_{area}}, \{R\in\mathbb{R}^2 \vert R = [0,\frac{\pi}{2}] \times [\frac{\pi}{2}]\} \\ = \frac{s^2\int_0^{\pi/2}\int_0^{\pi/2}\mathrm{cos}\theta_1\mathrm{cos}\theta_2d\theta_1d\theta_2}{\frac{\pi^2}{4}} \\ = \frac{4s^2}{\pi^2}$$ Dies führt nicht zu dem Ergebnis, das ich suche, also frage ich mich, wo ich meine logische Schlussfolgerung vermasselt habe. Kann ich einfach den Medianwert von nehmen$\mathrm{cos}x$über$[0,\frac{\pi}{2}]$? Wenn dies der Fall ist, entfällt die Notwendigkeit des Integrals, aber es scheint zu einfach und erklärt nicht, warum sich die beiden widersprechen. Vielen Dank im Voraus.