Intuitive Erklärung, warum integral sin(x) -cos(x) ist

Question

Intuitive Erklärung, warum integral sin(x) -cos(x) ist

Mächtiges Schweinefleisch

Mir ist klar, dass es eine Reihe ähnlicher Fragen gibt, aber für die Ableitung. Dies ist jedoch ein wenig anders.

Ich verstehe ziemlich gut, warum Ableitung von sin(x)is cos(x)und of cos(x)is -sin(x). Das macht Sinn, da die Ableitung den "Winkel der Normalen" ausdrückt, kann ich das leicht aus dem Diagramm erkennen.

Wenn ich jedoch versuche - analog mit einem Graphen - das Integral von sin (x) zu finden, kann ich es anscheinend nicht verstehen.

Hier meine Grafiken:

Geben Sie hier die Bildbeschreibung ein

Ich weiß, dass das Integral "Fläche unter dem Diagramm" ist. Wenn Sie sich den Graphen von ansehen sin(x), beginnt er mit einem Nullbereich unter dem Graphen und allmählich wird mit wachsender Geschwindigkeit mehr hinzugefügt, dann verlangsamt er sich und stoppt schließlich bei PI, wo die Ableitung null erreicht. Wenn der Graph dann unter die X-Achse geht, wird die Fläche erneut subtrahiert und erreicht schließlich bei 2PI Null.

Das passt nicht ganz zu -cos(x), oder? Es würde Sinn machen, wenn es so wäre, wie es auf meinem 3. Bild ist.

Ich verstehe es wahrscheinlich falsch, also geben Sie mir bitte einen Hinweis, wie ich es verstehen soll ... der Punkt ist, ich erinnere mich nie an die Formeln und ich bin einigermaßen erfolgreich beim Finden der Ableitungen, aber ich bekomme das Integral nie richtig hin.

Reue

Dein drittes Bild sieht ziemlich ähnlich aus

- \cos

$-\cos$ . Vielleicht würde ein bisschen vertikale Übersetzung sie gleich machen, oder?

Mächtiges Schweinefleisch

Ich nehme an ... heißt das, dass die Integrationskonstante 1dann ist?

Rammus

Du redest von Integralen und Stammfunktionen. Also vergleicht man die "Fläche unter dem Graphen" von

\sin (x)

$\sin(x)$ aus

[a, b]

$[a,b]$ du schaust nur zu

- \cos (b) + \cos (a)

$-\cos(b) + \cos(a)$ eher als die Fläche des Diagramms für die

- \cos (x)

$-\cos(x)$ . Eigentlich sollten Sie Stammfunktionen und den Fundamentalsatz der Analysis nachschlagen, und es wird Ihnen helfen zu verstehen, warum die Integrale so sein müssen. Sie können auch die Exponentialform und die Reihenform von sin und cos nachschlagen

Antworten (2)

Intuitive Erklärung, warum integral sin(x) -cos(x) ist

Dein drittes Bild sieht ziemlich ähnlich aus $-\cos$ . Vielleicht würde ein bisschen vertikale Übersetzung sie gleich machen, oder?
Ich nehme an ... heißt das, dass die Integrationskonstante 1dann ist?
Du redest von Integralen und Stammfunktionen. Also vergleicht man die "Fläche unter dem Graphen" von $\sin(x)$ aus $[a,b]$ du schaust nur zu $-\cos(b) + \cos(a)$ eher als die Fläche des Diagramms für die $-\cos(x)$ . Eigentlich sollten Sie Stammfunktionen und den Fundamentalsatz der Analysis nachschlagen, und es wird Ihnen helfen zu verstehen, warum die Integrale so sein müssen. Sie können auch die Exponentialform und die Reihenform von sin und cos nachschlagen

Reue · Answer 1

Wenn Sie über Integrale sprechen, könnten Sie über eines von vielen unterschiedlichen, aber verwandten Themen sprechen. Sie könnten Riemann-Integrale, unbestimmte Integrale oder viele andere Arten von Integralen da draußen meinen.

Sie sprechen wahrscheinlich vom unbestimmten Integral, wenn Sie sagen, dass das Integral von $\sin$ Ist $-\cos$ . Die Sache mit dem unbestimmten Integral ist, dass es nicht wirklich eine einzelne Funktion ist. Deshalb zeigst du es oft mit den Kleinen ${}+C$ Am Ende. Ein unbestimmtes Integral ist eher wie eine Reihe von Funktionen, die alle unter vertikaler Übersetzung gleich sind.

So, $\int f$ könnte als Menge der Funktionen betrachtet werden, die eine Ableitung haben $f$ . Es gibt viele Funktionen, die die Ableitung haben $\sin$ , und sie sind alle in der Form $-\cos+C$ , Wo $C$ ist eine reelle Zahl. Deshalb spricht man vom Integral von $\sin$ Ist $-\cos$ .

Aber warum stellt das Integral dann nicht die Fläche dar? Nun, das tut es. Was du gesagt hast, war das $-\cos(x)$ sollte der Bereich darunter sein $\sin(x)$ bis zu $x$ . Die Frage ist, bis zu $x$ wovon? Es gibt keine untere Grenze! Wenn Sie die untere Grenze wählen $0$ , Dann

- \cos (X) - (- \cos (0)) = - \cos (X) + 1

$-\cos(x)-(-\cos(0))=-\cos(x)+1$

Du bekommst das $+1$ Sie haben sich gefragt, und es repräsentiert den Bereich darunter $\sin(x)$ aus $0$ Zu $x$ .

Diese Antwort ist bei weitem nicht perfekt, aber ich hoffe, sie ist zumindest von Nutzen für Sie.
Ja, es ist eine gute Erklärung, hilft nur nicht viel dabei, "herauszufinden", dass es ist -cos(x), wie ich es für die Ableitung mit der Steigung tun kann ... Ich muss mich einfach daran erinnern, denke ich
@MightyPork: Sie könnten Folgendes versuchen: Machen Sie es wie bei der Erstellung Ihres dritten Bildes. Stellen Sie sich dann vor, welche Funktion der Graph darstellen könnte, wenn Sie ihn nach oben oder unten verschieben würden. Beispielsweise stellen Sie möglicherweise fest, dass Sie Ihr drittes Bild nach unten verschieben $1$ lässt es aussehen $-\cos$ .

ärgerlich · Answer 2

Sie haben Recht, was die Fläche betrifft, aber denken Sie daran, dass das Integral nur bis auf eine Konstante definiert ist!

Numerisch, wenn Sie Bereiche direkt vergleichen würden, wäre die Funktion, die Sie benötigen würden $1-\cos{x}$ . Denken Sie jedoch daran, dass dies eine unbestimmte Integration ist.

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Reue

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Rammus

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Reue

Reue

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Reue

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ärgerlich

Intuitives Verständnis der Ableitungen von sinxsin⁡x\sin x und cosxcos⁡x\cos x

Integriere ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Gibt es Einschränkungen, die ich für die Integration durch trigonometrische Substitution vergessen habe, oder mache ich einen anderen Fehler?

Die durchschnittliche Fläche des Schattens eines Quadrats

Wo liege ich falsch? Warum unterscheidet sich meine Antwort vom Buch?

Wie löst man ∫dx4−x2√∫dx4−x2\int\frac{dx}{\sqrt{4-x^2}} mit trigonometrischer Substitution?

Auswertung von ∫π20sinx√sinx√+cosx√dx∫0π2sin⁡xsin⁡x+cos⁡xdx\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\sqrt{\sin x}}{\ sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}}\, \mathrm{d}x

Integriere ∫sinxcosxsin4x+cos4xdx∫sin⁡xcos⁡xsin4⁡x+cos4⁡xdx\int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4x + \cos^4x} \,dx

Was habe ich beim Lösen von ∫x2−1√x4dx∫x2−1x4dx\int\frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}dx falsch gemacht?

∫sin3(θ/2)cos(θ/2)cos3θ+cos2θ+cosθ√dθ∫sin3⁡(θ/2)cos⁡(θ/2)cos3⁡θ+cos2⁡θ+cos⁡θdθ\int \ frac{\sin ^3(\theta/2)}{\cos(\theta/2)\sqrt{\cos^3\theta+\cos^2\theta+\cos\theta}}d\theta