Intuitives Verständnis der Ableitungen von sinxsin⁡x\sin x und cosxcos⁡x\cos x

Vielleicht gibt folgendes Diagramm Aufschluss:

Die Idee ist, die Sinus- und Cosinuskurven als Projektionen einer auf einem Zylinder gezeichneten Helix zu betrachten. Wenn Sie den Zylinder selbst als ein gekräuseltes, planares Längenquadrat betrachten$2\pi$, dann ist die Helix eine gekräuselte Version der Diagonale des Quadrats. Ein Tangentenvektor entlang der Diagonalen des flachen Quadrats liegt immer bei 45 Grad zu den Seiten des Quadrats, sagen wir mit Schatten der Länge „1“ in jeder Richtung; Nachdem das Quadrat glatt in den Zylinder eingerollt wurde, liegt der Tangentenvektor bei 45 Grad zum Zylinder ($z$-)Achse und die Senkrechte ($xy$-)Ebene.

Projektion der Helix in die$zy$- Und$zx$-planes gibt Graphen von Sinus und Cosinus. Das Projizieren des Tangentenvektors der Helix ergibt Tangentenvektoren an diese Graphen. Der "$\mathrm dz$"s für diese projizierten Tangenten sind immer$1$(der "vertikale" Schatten des Tangentenvektors der Helix). Um an "$\mathrm dy$" Und "$\mathrm dx$" ("$v_x$" Und "$v_y$" im Diagramm) projizieren wir nach unten in die$xy$-Ebene, wo wir einen Kreis sehen, und noch einen weiteren projizierten Tangentenvektor.

Die grundlegende Geometrie sagt uns, dass eine Tangente an einen Kreis senkrecht zum Radius am Tangentialpunkt steht. In unserem Kreis wird der Tangentenpunkt – und der Radiusvektor – parametrisiert als „$<\cos$,$\sin$,$0>$". Die senkrechte Tangente muss also einen "negativ-reziproken" Richtungsvektor haben: "$<-\sin$,$\cos$,$0>$", was uns unsere "$\mathrm dx$" Und "$\mathrm dy$" für die Helixtangente ... und auch die projizierten Graphentangenten, so dass wir die folgenden Schlussfolgerungen ziehen können:

Die Ableitung des Kosinus – nach ihrer konzeptionellen Definition als „Steigung der Tangente“ – ist eine Änderung in$x$-umschalten-in-$z$=$\mathrm dx/\mathrm dz = -\sin/1 = -\sin$.

Ebenso ist die Ableitung des Sinus$\mathrm dy/\mathrm dz = \cos/1 = \cos$.

Ich mag diesen Ansatz, weil die konzeptionelle Definition der Ableitung "Steigung der Tangente" durchgehend verwendet wird; Es gibt keine (offensichtlichen) Appelle an abschweifende Berechnungstricks, die trigonometrische Identitäten und Grenzen von Differenzquotienten beinhalten. Mir gefällt auch, dass das merkwürdige negative Vorzeichen in der Ableitung des Kosinus auf eine elementare Eigenschaft der Kreisgeometrie zurückgeht.

Dieser Ansatz stellt natürlich keinen Beweis der Formeln dar. Der Prozess, das planare Quadrat zu einem Zylinder zu kräuseln und zu behaupten, dass sich der Tangentenvektor wie behauptet verhält, setzt tatsächlich die Rechenmaschinerie voraus, die von den traditionellen Grenzwertargumenten abgedeckt wird. Trotzdem denke ich, dass dieses Argument auf einer intuitiven Ebene das „Warum“ der Derivate ziemlich schön erklärt. Dann hilft das Wissen, was die Formeln sind (oder "sollten"), die Untersuchung der Rechentricks zu motivieren, die erforderlich sind, um einen strengen Beweis zu liefern.

Hier ist ein PDF mit einer Variante der obigen Diskussion (aber das gleiche Bild). Hier ist eine Mathematica-Demonstration , die die verschiedenen Elemente animiert, einschließlich des quadratischen Einrollens in den Zylinder.

Ich stimme David (+1) zu, dies ist die relevante Grafik, und sie funktioniert für mich:

Von hier .

Aktualisiert (kurze Erklärung hinzugefügt, um dies eigenständig zu machen) :

Das rechtwinklige Hauptdreieck (in blau) ergibt$\cos \theta$(horizontale Seite) und$\sin \theta$(Vertikale). Das Kleingeld$\Delta \theta$erzeugt ein neues Dreieck mit dem entsprechenden$\cos(\theta +\Delta \theta )$Und$\sin(\theta +\Delta \theta)$

Wenn wir uns nun das kleine Dreieck (in Rot) ansehen, sehen wir, dass seine Beine den Inkrementen entsprechen$\Delta(\sin \theta)$Und$-\Delta(\cos \theta)$; außerdem für kleine Inkremente die Hypotenuse$h$neigt zum Lichtbogen$\Delta \theta$, und das kleine Dreieck ähnelt dem Hauptdreieck (daher$\phi \to \theta$).

Aber$\cos \phi=\Delta(\sin \theta)/h \to d(\sin \theta)/ d\theta$. Somit$d(\sin \theta)=\cos \theta \, d\theta$

Wenn wir dasselbe für das andere Bein tun, erhalten wir$d(\cos \theta)= - \sin \theta \, d\theta$

Dies hängt mit der Antwort von Justin L. zusammen , da ich im Grunde die gleiche Interpretation habe, aber während diese Antwort (so wie ich sie interpretiere) eine großartige intuitive Überprüfung der Richtigkeit der Ableitungen ermöglicht, möchte ich darstellen, wie man dies tatsächlich tun könnte (etwas intuitiv) zu den Ableitungen kommen.

Per Definition,$s(x)=(\cos(x),\sin(x))$gibt den Punkt auf dem Einheitskreis nach einer Bogenlänge an$x$von diesem Punkt$(1,0)$, gegen den Uhrzeigersinn orientiert. Die Parametrisierung bezüglich der Bogenlänge ist genau die Bedingung, die garantiert, dass die Kurve Einheitsgeschwindigkeit hat, dh$|s'(x)|\equiv 1$. Weil$s$hat auch eine konstante Länge, das kann man mit der Produktregel zeigen$s'(x)$steht senkrecht dazu$s(x)$für alle$x$:

Also für jeden$x$,$s'(x)$ist ein Einheitslängenvektor senkrecht zu$s(x)$. Damit bleiben 2 Möglichkeiten: entweder eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn oder eine Drehung im Uhrzeigersinn$\frac{\pi}{2}$aus$s(x)$. Aber jetzt, weil$s'$sagt uns wie$s$ändert, muss er in Bewegungsrichtung zeigen$s$, nämlich gegen den Uhrzeigersinn. Daher$s'(x)$ist eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um$\frac{\pi}{2}$aus$s(x)$, was bedeutet

Aber wir haben auch$s'(x)=(\cos'(x),\sin'(x))$, also ergeben sich übereinstimmende Koordinaten$\cos'=-\sin$Und$\sin'=\cos$.

Eine wichtige Tatsache, die ausdrücklich erwähnt werden sollte, ist die

Für ein allgemeines Winkelmaß ist die Ableitung von$\sin x$ein skalares Vielfaches von ist$\cos x$. Tatsächlich könnte man argumentieren, dass dies der Hauptgrund für die Nützlichkeit des Bogenmaßes ist : Das Bogenmaß ist das Winkelmaß, das dieses skalare Vielfache gleich 1 macht.

Das ist etwas, was nicht viele Menschen erkennen. Hier ist zum Beispiel ein Zitat aus einer Math Overflow-Antwort auf die Frage „Warum bringen wir Mathematikstudenten die Ableitung als Grenzwert bei?“

Ich möchte auf eine einfache Frage hinweisen, die nur sehr wenige Mathematikstudenten und sogar Lehrer richtig beantworten können: Ist die Ableitung der Sinusfunktion, bei der der Winkel in Grad gemessen wird, dasselbe wie die Ableitung der Sinusfunktion, bei der der Winkel wird in Radiant gemessen. In meiner Abteilung sprechen wir alle Kandidaten für das Unterrichten von Analysis vor und stellen oft diese Frage. So viele Leute, einschließlich einiger mit Doktortiteln von guten Schulen, konnten diese Frage nicht richtig beantworten, dass ich sie sogar bei ein paar wirklich berühmten Mathematikern ausprobierte. Auch hier ist die Schwierigkeit, die wir alle mit dieser Frage haben, für mich ein Zeichen dafür, wie schlecht wir selbst Rechnen lernen.

Um zu sehen, warum das Bogenmaß entscheidend ist, sehen Sie sich die Steigungen der Graphen von an$\sin x$bei$x = 0$Wenn$x$wird in Radianten gemessen und wann$x$wird in Grad gemessen.

Erstens wann$x$ist in Radiant:

Die Steigung scheint nahe bei 1 zu liegen. (Und natürlich wissen wir, dass es 1 ist.)

Zweitens wann$x$ist in Grad:

Die Steigung ist viel, viel kleiner als 1. Also die Ableitung von$\sin x$bei$x = 0$Wenn$x$ist in Grad kann nicht sein$\cos(0) = 1$. Die richtige Antwort, wenn$x$ist in Grad, ist das die Ableitung von$\sin x$Ist$\frac{\pi}{180}\cos x$(über die Kettenregel).

Natürlich gehen alle Antworten auf die hier gegebene Frage des OP implizit davon aus$x$wird in Radiant gemessen. (Für Schüler, die dies lesen, könnte es eine interessante Übung sein, jedes der anderen Argumente durchzugehen, um genau zu sehen, wo diese Annahme gemacht wird.) Wie jedoch das Zitat von Math Overflow zeigt, ist dies etwas, das viele Leute nicht tun nicht erkennen.

Als Physik-Major möchte ich eine Antwort vorschlagen, die sich aus meinem Verständnis ergibt, Sinus und Cosinus in der realen Welt zu sehen.

Dabei werde ich gleichförmige Kreisbewegungen untersuchen.

Aufgrund der Punkt-auf-einem-Einheitskreis-Definition von Sinus und Cosinus können wir Folgendes sagen:

r(t) = < cos(t), sin(t) >

Ist eine richtige parametrische Funktion, um einen Punkt zu beschreiben, der sich entlang des Einheitskreises bewegt.

Betrachten wir, was die erste Ableitung in einem physikalischen Kontext sein sollte. Die erste Ableitung der Position sollte idealerweise die Geschwindigkeit des Punktes darstellen.

In einem physikalischen Kontext würden wir erwarten, dass die Geschwindigkeit die Linie ist, die die Bewegungsrichtung zu einem bestimmten Zeitpunkt tangiert t. Daraus folgt, dass er den Kreis unter dem Winkel tangiert t. Da die Winkelgeschwindigkeit konstant ist, sollte auch die Größe der Geschwindigkeit konstant sein.

r'(t)     = < -sin(t), cos(t) >
|r'(t)|^2 = (-sin(t))^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = sin(t)^2 + cos(t)^2
|r'(t)|^2 = 1
|r'(t)|   = 1

Wie erwartet ist die Geschwindigkeit konstant, also verhalten sich die Ableitungen von Sinus und Cosinus so, wie sie sollten.

Wir können auch darüber nachdenken, in welche Richtung die Geschwindigkeit im Vergleich zum Positionsvektor gehen würde.

Ich bin mir nicht sicher, ob dies an den Grenzen der Frage "Schummeln" ist, aber durch Visualisieren des Diagramms können wir sehen, dass die Geschwindigkeit von Natur aus tangential zum Kreis ist und senkrecht zum Positionsvektor sein muss.

Wenn dies wahr ist, dann ist Position * Geschwindigkeit = 0 (Punktprodukt).

                              r(t) * r'(t) = 0
  < cos(t), sin(t) > * < -sin(t), cos(t) > = 0
( cos(t) * -sin(t) ) + ( sin(t) * cos(t) ) = 0
              -sin(t)cos(t) + sin(t)cos(t) = 0
                                         0 = 0

Das leben ist gut. Wenn wir davon ausgehen, dass die Definition von cos(t) gleich -sin(t) und die Definition von sin(t) gleich cos(t) ist, finden wir das physikalische Verhalten genau wie erwartet vor: eine konstante Geschwindigkeit, die immer senkrecht zur Position steht Vektor.

Wir können dies weiterführen und uns die Beschleunigung ansehen. In der Physik würden wir das Rückstellkraft nennen. Welche Beschleunigung müsste in einem Kreis vorhanden sein, um einen Punkt in Kreisbewegung zu halten?

Genauer gesagt, in welche Richtung müsste diese Beschleunigung gehen?

Es braucht wenig Überlegung, um auf die Idee zu kommen, dass die Beschleunigung nach dem Zentrum suchen und auf das Zentrum zeigen müsste. Wenn wir also feststellen können, dass die Beschleunigung in der entgegengesetzten Richtung wie der Positionsvektor ist, können wir uns über die Ableitungen von Sinus und Cosinus fast sicher sein. Das heißt, ihr Innenwinkel sollte sein pi.

                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * cos(pi)
                            r(t) * r''(t) = |r(t)| * |r''(t)| * -1
< cos(t), sin(t) > * < -cos(t), -sin(t) > = |<cos(t),sin(t)>| * |<-cos(t),-sin(t)>| * -1
                    -cos(t)^2 + -sin(t)^2 = 1 * 1 * -1
               -1 * (cos(t)^2 + sin(t)^2) = -1
                                   -1 * 1 = -1
                                       -1 = -1

Wenn Sie sich die Quotientengrenze, die sin'(x) im Einheitskreis definiert, sorgfältig und geometrisch ansehen und die Sehne und die Tangente als Annäherung an den Bogen nehmen (das ist der Winkel; dies ist die Essenz von sin(x)/x nähert sich 1), werden Sie sehen, dass die Grenze des Ableitungsquotienten genau zu cos(x) tendiert, d. h. zu seiner benachbarten/Hypotenuse. Mit anderen Worten, es ist in die rechtwinklige Dreiecksgeometrie eingebaut, wie so viele Phänomene in der Mathematik.

In dieser Geometrie lauert auch der Beweis für die sin(x+y)-Formel, die zusammen mit dem Grenzwert von sin(x)/x der Standardbeweis dafür ist, dass sin'(x) = cos ist (x) geht. Aber diese Algebra zu überspringen und direkt zur Geometrie zu gehen, ist der einfachste Weg, den ich kenne, um die Frage zu beantworten.

Leider habe ich keine Zeit oder Werkzeuge, um die Bilder zu zeichnen.

Ich vermute, dass dies dasselbe sagt wie die obige physikalische Antwort, aber vielleicht direkter. Ich denke, alle Antworten, die sich auf Serienerweiterungen beziehen, verfehlen den Punkt.

Dieses interessante Ableitungsmuster mit Sinus und Cosinus hängt mit der Tatsache zusammen, dass e^x seine eigene Ableitung ist und dass e^(ix) = cos(x) + i*sin(x) ( Euler-Formel ) .

Diese beiden Tatsachen sind in gewisser Weise die Mathematik, die sich hinter Justin Ls eher physikalischer Erklärung verbirgt, die Sie möglicherweise intuitiver finden.

Sinus und Cosinus kommen hauptsächlich als fundamentale Lösungen der Differentialgleichung vor$y'' = -y$, bekannt als Wellengleichung. Warum ist dies eine wichtige Differentialgleichung? Nun, wenn man es mit Newtons zweitem Gesetz interpretiert, heißt es: "Die Kraft ist proportional und entgegengesetzt zur Position." Das passiert zum Beispiel mit einer Feder!

Das ist eine Gleichung 2. Grades, also hat sie einen zweidimensionalen Lösungsraum. Wie wählt man eine schöne Basis für diesen Raum aus? Nun, eine Möglichkeit wäre zu wählen$f$Und$g$so dass$f' = i f$Und$g' = -i g$. Das beinhaltet jedoch zu viele imaginäre Zahlen, also ist eine andere Option$f' = -g$, Und$g' = f$.

Wenn Sie also versuchen, zwei Funktionen zu finden, die die Oszillationsbewegung erklären, werden Sie natürlich dazu führen, Funktionen auszuwählen, die haben$f' = g$,$g' = -f$, usw.

(Andererseits ist es aus dieser Sicht völlig unklar, warum Sinus und Cosinus irgendetwas mit Dreiecken zu tun haben sollten ...)

Reden wir über den ersten,

Schauen Sie sich die Handlung an:

$\sin$ist rot,$\cos$ist blau.

Die Änderungsrate der roten Kurve ($\sin$) ist genau der aktuelle y-Wert der blauen Kurve ($\cos$) an jedem Punkt .

Auf einige markante Punkte hinweisen:

• @x=$\frac{\pi}{2}$,$\sin(\frac{\pi}{2})=1$Und$\cos(\frac{\pi}{2})=0$. Dies bedeutet die Rate der Sinuskurve @ x=$\frac{\pi}{2}$ist NICHTS, was Sie deutlich in der Grafik sehen können - ein lokales Maximum.

• @x=0,$\sin(0)=0$Und$\cos(0)=1$, was bedeutet, dass sin(x) sich scheinbar entlang der geraden Linie y=x am Ursprung bewegen sollte, was auch der Fall ist. Tatsächlich haben wir in der Nähe von x=0 die Näherung sin(x)=x.

• @x=$\frac{\pi}{2}^+$, du kannst sehen$\sin(\frac{\pi}{2}^+)$beginnt nach unten zu gehen. An dieser Stelle,$\cos(\frac{\pi}{2}^+)$ALSO unter die x-Achse eintaucht, dh erstmals wird die Änderungsrate von sin(x) negativ.

Als Ergänzung können Sie das Mathematica-Notebook von Graphing Derivatives herunterladen , mit dem Sie ein wenig spielen können$\text{sin}(x)$,$\text{cos}(x)$und eine weitere Funktion. Ich denke, es zeigt eine sehr offensichtliche, aber interessante Konstruktion dieser trigonometrischen Funktionen. Falls Sie nichts herunterladen oder installieren möchten, habe ich einen amateurhaften Screencast gepostet , damit Sie die Demonstration sehen können. Grundsätzlich zeichnest du die$\text{sin}(x)$Funktion, und in jedem Punkt$(x,y)$Sie berechnen/zeichnen die Steigung. Der Wert der Steigung entspricht dem Wert der$y$Koordinate der Ableitung der Funktion (in diesem Beispiel$\text{cos}(x)$), gleich bleiben$x$Koordinate.

Es ist eine wunderbare Übung, eine zufällige Funktion zu zeichnen und die Ableitung dieser Funktion basierend auf diesem Verfahren zu zeichnen, dann einen Blick auf die „wahre“ Ableitung zu werfen und zu sehen, wie sehr Ihre Zeichnung der Ableitung ähnelt.

Von den ersten Prinzipien unter Verwendung von trigonometrischen Identitäten und Kleinwinkelnäherungen:

Für$x$klein,$\sin(x)\sim x$, So

Das ist nicht genau das, was Sie gefragt haben, aber schauen Sie sich die Taylor-Reihe für die Polynome an:

Daraus werden die Beziehungen zwischen den Derivaten deutlich.

Ich glaube nicht, dass Sie ein intuitives Gefühl für die Ableitungen bekommen können, ohne sich die Diagramme persönlich anzusehen. Wenn Sie bedenken, dass eine Ableitung eine Änderungsrate ist, müssen Sie sich eine Funktion ansehen, die sich ändert, was impliziert, dass Sie sich den Plot/Graph der Funktion ansehen. Wenn Sie weiter bedenken, dass eine Ableitung (per Definition eine Änderungsrate) eine Gradientenfunktion ist, lautet die intuitive Antwort, dass cos die Gradientenfunktion von sin und -sin die Gradientenfunktion von cos ist (und so weiter). . Wenn Sie also die Steigung der Sinuskurve an einem beliebigen Punkt berechnen, erhalten Sie den Kosinuswert für diesen Punkt.

Im Geiste der Frage geht diese Antwort auf die Bemerkung ein: "Oder, noch erstaunlicher, die Definition des rechten Dreiecks allein". Im Wesentlichen die gleiche Antwort wie die von David Lewis .

Geometrisch d(sinθ)/dθlässt sich ein rechtwinkliges Dreieck ableiten, indem man das rechtwinklige Dreieck aus vergrößert und θ->θ+dθdabei a:=adjden rechten Winkel festhält. In erster Reihenfolge d(sinθ)=(o+do)/(h+dh)-o/h≈do/h, wo o:=opp, h:=hyp. Der kleine Teil des Kreises mit Radius, hder definiert dθ, ist wiederum in erster Ordnung gleich der gegenüberliegenden Seite eines Dreiecks mit der senkrechten Projektion von h auf h+dh, so dass dθ=do┴/h.

Wir sehen also, dass die Ableitung von sinθgleich dem Verhältnis zwischen dound ist do┴. Dass dieser Anteil gleich ist, sieht man sofort sin(π/2-θ)=cos(θ)an dem kleinen Dreieck in der rechten oberen Ecke.

„Das Verhältnis zwischen dound do┴ist gleich dem Verhältnis der beiden angrenzenden Seiten des Winkels θ“ wäre also die intuitive, geometrische Bedeutung von sin'(θ)=cos(θ).

Der folgende sehr klare Beweis findet sich im klassischen Cours d'Analyse von Camille Jordan (ohne Diagramm; eine Übung in klarer Visualisierung!):

Seien x und x+h zwei Punkte auf dem Einheitskreis. Zunächst beobachten wir, dass | sin(x+h)-sinx| < h , also ist sinx stetig.

Wir sehen leicht, dass 2sin(h/2) = Akkord h < h < 2tan(h/2).

Also cos(h/2) < (2sin(h/2))/h < 1.

Wenn h gegen 0 tendiert, tendiert cos(h/2) gegen 1. Also

lim (2sin(h/2))/h = 1.

Nachdem wir das oben Gesagte festgestellt haben, haben wir

(sinx)' = lim(sin(x+h)-sinx)/h) = lim((2sin(h/2))/h)cos(x+h/2)) = cosx.

Betrachten Sie den Graphen von$y=\sin\theta$: Auf einer intuitiven Ebene bedeutet „die Ableitung des Sinus ist der Kosinus“, dass, wenn wir den Wert von erhöhen$\theta$nur leicht, dann die entsprechende Änderung in$\sin\theta$ist ungefähr proportional zu diesem Anstieg, mit$\cos\theta$die Proportionalitätskonstante ist. Dies kann folgendermaßen visualisiert werden: Mit anderen Worten, die Aussage

* Beachten Sie, dass es viele geometrische Argumente gibt, die man verwenden kann, um die linearen Näherungen zu rechtfertigen, was bedeutet, dass wir die Verwendung von Maclaurin-Reihen vermeiden können.

Berücksichtige das