Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Question

Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Infinitesimalrechnung
Geometrie
Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse
Algebra-Vorkalkül

Bessere Welt

Die komplexen Zahlen $z_1,z_2,z_3$ befriedigend
$\frac{z_{1} + z_{3}}{z_{2} - z_{3}} = \frac{1 - ich \sqrt{3}}{2}$ $\dfrac{z_1+z_3}{z_2-z_3}=\dfrac{1-i\sqrt{3}}{2}$ sind die Ecken eines Dreiecks, das ist:

a) Fläche $0$

b) gleichseitig

c) rechtwinklig und gleichschenklig

d) stumpfwinklig

Alles, was ich bekam, war das aus dem Rotationssatz,

Arg (\frac{z_{1} + z_{3}}{z_{2} - z_{3}}) = - π / 3

$\arg\left(\dfrac{z_1+z_3}{z_2-z_3}\right)=-\pi/3$ und das

| z_{1} + z_{3} | = | z_{2} - z_{3} |

$|z_1+z_3|=|z_2-z_3|$

Kann mir bitte jemand zeigen, wie ich dieses Problem lösen kann? Vielen Dank!

grand_chat

Wenn der Zähler wäre

z_{1} - z_{3}

$z_1-z_3$ anstatt

z_{1} + z_{3}

$z_1+z_3$ , dann wäre die Antwort (b), weil die Ihnen gegebenen Informationen implizieren würden, dass zwei der Seiten gleich lang sind und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten gleich ist

60^{\circ}

$60^\circ$ .

mea43

Hinweis: Verschieben Sie den Ursprung zu einem beliebigen von

z_{1}, z_{2}, z_{3}

$z_1, z_2, z_3$ um die Eigenschaften des Dreiecks zu sehen, da Winkel und Seiten unter Verschiebung des Ursprungs unveränderlich sind.

Eddy Khemiri

Sie sollten Ihren Beitrag bearbeiten: Tatsächlich ist es so

\frac{z1 + z3}{z2 - z3} = e^{- i \frac{π}{3}}

$\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}=e^{-i\frac{\pi }{3}}$ Und

\arg (\frac{z1 + z3}{z2 - z3}) = - \frac{π}{3}

$\arg \left(\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}\right)=-\frac{\pi }{3}$ . Als @ user21820 glaube ich nicht, dass Sie viel mehr darüber wissen können

z 1, z 2, z 3

$z1,z2,z3$ ...

Bessere Welt

@mea43 Sir, ich habe es sehr lange versucht, konnte aber nirgendwo hinkommen. Könnten Sie mir bitte helfen?

Bessere Welt

@EddyKhemiri Bearbeitet, danke, dass du mich informiert hast.

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Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Wenn der Zähler wäre $z_1-z_3$ anstatt $z_1+z_3$ , dann wäre die Antwort (b), weil die Ihnen gegebenen Informationen implizieren würden, dass zwei der Seiten gleich lang sind und der Winkel zwischen diesen beiden Seiten gleich ist $60^\circ$ .
Hinweis: Verschieben Sie den Ursprung zu einem beliebigen von $z_1, z_2, z_3$ um die Eigenschaften des Dreiecks zu sehen, da Winkel und Seiten unter Verschiebung des Ursprungs unveränderlich sind.
Sie sollten Ihren Beitrag bearbeiten: Tatsächlich ist es so $\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}=e^{-i\frac{\pi }{3}}$ Und $\arg \left(\frac{\text{z1}+\text{z3}}{\text{z2}-\text{z3}}\right)=-\frac{\pi }{3}$ . Als @ user21820 glaube ich nicht, dass Sie viel mehr darüber wissen können $z1,z2,z3$ ...
@mea43 Sir, ich habe es sehr lange versucht, konnte aber nirgendwo hinkommen. Könnten Sie mir bitte helfen?
@EddyKhemiri Bearbeitet, danke, dass du mich informiert hast.

Benutzer21820 · Answer 1

Es gibt ein Problem mit dem Problem. Nach dem, was Sie gesagt haben, wissen wir das $(-z_1,z_2,z_3)$ sind die Eckpunkte eines gleichschenkligen Dreiecks mit gleichen Seiten, die sich bei treffen $120^\circ$ . Aber dann wissen wir nicht viel darüber $(z_1,z_2,z_3)$ , denn wie Sie sehen können, übersetzen $(-z_1,z_2,z_3)$ herum macht $(z_1,z_2,z_3)$ Form ändern.

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grand_chat

mea43

Eddy Khemiri

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Benutzer21820

Gibt es einen natürlichen Weg, um zu beweisen, dass trigonometrische Identitäten auch für komplexe Zahlen gelten?

Beweisen Sie grundlegende Ungleichungen komplexer Zahlen

Ein Standardintegral mit komplexen Zahlen durchführen, anstatt eine trigonometrische Substitution zu verwenden

limz→z0p(z)q(z)limz→z0p(z)q(z)\lim_{z\to z_0} \frac{p(z)}{q(z)} wobei ppp und qqq komplexe Polynome sind.

Zum Beweis, dass drei komplexe Punkte ein gleichseitiges Dreieck bilden

Summe der Winkel, unter denen ein festes Liniensegment von Punkten gesehen wird, die auf einem anderen Liniensegment liegen

Finden eines Punktes in einem Liniensegment mit gegebenem Verhältnis

Schwierigkeit sicherzustellen, dass das System eine Lösung hat

Bestimmung der Schranken für ein Dreifachintegral?

Spivak Frage 14, Kapitel 1, Klärung einer Aussage.