Ein Standardintegral mit komplexen Zahlen durchführen, anstatt eine trigonometrische Substitution zu verwenden

Question

Ein Standardintegral mit komplexen Zahlen durchführen, anstatt eine trigonometrische Substitution zu verwenden

Infinitesimalrechnung
Integration
Mathematik
komplexe Zahlen
komplexe Analyse
unbestimmte Integrale

Mathe-Zauberer

Ich habe mir einige Integrale angesehen, die mit trigonometrischen Substitutionen zu tun haben, und bin über dieses hier gestolpert

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} D X

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$

Ich weiß, dass Sie es mit einer regulären trigonometrischen Substitution tun können oder einfach eine hyperbolische Substitution verwenden, aber ich habe mich gefragt, ob Sie es auf die folgende Weise tun können.

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} D X = \int \frac{\cos θ}{\sqrt{- \cos^{2} θ}} D θ = \int \frac{1}{ich} D θ = \frac{1}{ich} \arcsin X,

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} dx = \int \frac{\cos \theta}{\sqrt{-\cos^2\theta}}d\theta = \int \frac{1}{i}d\theta = \frac{1}{i}\arcsin x,$ bei dem die

x = \sin θ

$x=\sin \theta$ Ersatz verwendet wurde. Könnte mir bitte jemand erklären, warum ich nicht das gleiche Ergebnis erhalte, das man erhalten würde, wenn eine hyperbolische oder andere trigonometrische Substitution verwendet würde?

Vielen Dank im Voraus.

mr_e_man

\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} D X = arkosh (X) + C = \pm ich \arccos (X) + C

$\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C=\pm i\arccos(x)+C$

= \pm ich (\frac{π}{2} - \arcsin (X)) + C = \mp ich \arcsin (X) + (C \pm ich \frac{π}{2})

$=\pm i\left(\frac\pi2-\arcsin(x)\right)+C=\mp i\arcsin(x)+\left(C\pm i\frac\pi2\right)$

= \pm \frac{1}{ich} \arcsin (X) + D

$=\pm\frac1i\arcsin(x)+D$

Mathe-Zauberer

@mr_e_man danke für die Antwort. Könnten Sie bitte klären oder die Quelle verlinken, wo

arccosh (x) = + / - \arccos (x)

$\text{arccosh (x)} = +/- \arccos (x)$ ? Vielen Dank im Voraus!

mr_e_man

cosch (\pm ich θ) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\pm ich θ)^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{θ^{2 k}}{(2 k)!} = \cos (θ)

$\cosh(\pm i\theta)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\pm i\theta)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}=\cos(\theta)$

Antworten (1)

Ein Standardintegral mit komplexen Zahlen durchführen, anstatt eine trigonometrische Substitution zu verwenden

$\int \frac{1}{\sqrt{X^{2} - 1}} D X = arkosh (X) + C = \pm ich \arccos (X) + C$ $\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx=\text{arcosh}(x)+C=\pm i\arccos(x)+C$ $= \pm ich (\frac{π}{2} - \arcsin (X)) + C = \mp ich \arcsin (X) + (C \pm ich \frac{π}{2})$ $=\pm i\left(\frac\pi2-\arcsin(x)\right)+C=\mp i\arcsin(x)+\left(C\pm i\frac\pi2\right)$ $= \pm \frac{1}{ich} \arcsin (X) + D$ $=\pm\frac1i\arcsin(x)+D$
@mr_e_man danke für die Antwort. Könnten Sie bitte klären oder die Quelle verlinken, wo $\text{arccosh (x)} = +/- \arccos (x)$ ? Vielen Dank im Voraus!
$cosch (\pm ich θ) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(\pm ich θ)^{2 k}}{(2 k)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} (- 1)^{k} \frac{θ^{2 k}}{(2 k)!} = \cos (θ)$ $\cosh(\pm i\theta)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(\pm i\theta)^{2k}}{(2k)!}=\sum_{k=0}^\infty(-1)^k\frac{\theta^{2k}}{(2k)!}=\cos(\theta)$

PN. · Answer 1

Um Ihr ursprüngliches Integral real zu halten, benötigen Sie

X^{2} > 1

$x^2 \gt 1$ Wenn du es zulässt

X = Sünde θ

$x=\sin \theta$ dann echt

θ

$\theta$ das muss doch stimmen

- 1 \leq X \leq 1 \Rightarrow X^{2} \leq 1

$-1 \le x \le 1 \Rightarrow x^2 \le 1$

Hallo, danke für deine Antwort. Ich habe eine Frage. Warum ist $x^2>1$ erforderlich? Warum können Sie nicht den Fall für berücksichtigen $x^2<1$ und dann den Realteil des Integrals betrachten? Vielen Dank im Voraus.
Bei der Integration einer komplexwertigen Funktion sind mehrere Dinge zu beachten. Sie müssen die Region, in der Ihre Funktion definiert ist, den Integrationspfad und Dinge wie die Singularität im Integranden sorgfältig berücksichtigen $x=1$ . z.B $\frac{1}{z}$ hat eine Singularität (Pol) am Ursprung $\int \frac{1}{z}dz$ erzeugt unterschiedliche Ergebnisse für geschlossene Schleifen, je nachdem, ob die Schleife diese Singularität einschließt oder nicht.
Hallo, danke für die schnelle Antwort. Ich möchte nur sichergehen, dass ich das richtig verstehe. Der Grund, warum dieser Ansatz nicht für x>1 verwendet werden kann, ist, dass Sie von reellen zu komplexen Variablen wechseln. Ich glaube, das verstehe ich. Aber warum kann man nicht zum Beispiel von 2 bis unendlich integrieren, wobei x eine komplexe Zahl ist, und dann den reellen Teil nehmen, um die gleiche Antwort zu erhalten, die man mit einer hyperbolischen Substitution erhalten würde? Vielen Dank im Voraus.

Ein Standardintegral mit komplexen Zahlen durchführen, anstatt eine trigonometrische Substitution zu verwenden

Mathe-Zauberer

mr_e_man

Mathe-Zauberer

mr_e_man

Antworten (1)

PN.

Mathe-Zauberer

PN.

Mathe-Zauberer

Was ist der offensichtliche Widerspruch in diesem Integral?

Berechne ∫sin(x−α)sin(x+α)−−−−−−√dx∫sin⁡(x−α)sin⁡(x+α)dx\int \sqrt{ \frac {\sin(x -\alpha)} {\sin(x+\alpha)} }\,\operatorname d\!x?

Geometrische Anwendungen komplexer Zahlen

Integriere ∫dxsin3xsin(x+α)√∫dxsin3⁡xsin⁡(x+α)\int \frac{dx}{\sqrt{\sin^3x\sin(x+\alpha)}}

Berechne ∫11−sin4x√dx∫11−sin4⁡xdx\int \frac{1}{\sqrt{1-\sin^4{x}}}dx

Geschlossene Form des bestimmten Integrals von 2006 MIT Integration Bee [geschlossen]

Auswertung des unbestimmten Integrals ∫log(x+x2−1−−−−−√)dx∫log(x+x2−1)dx\int\log\!\left(x+\sqrt{x^2-1}\ rechts)\!dx

Gibt es Einschränkungen, die ich für die Integration durch trigonometrische Substitution vergessen habe, oder mache ich einen anderen Fehler?

Vereinen Sie verschiedene Formen von ∫1A+cosxdx∫1A+cos⁡xdx\int \frac{1}{A + \cos x} \,\text{d}x

Wie kann ich ∫e2x−1e3x+ex√dx∫e2x−1e3x+exdx\int\frac{e^{2x}-1}{\sqrt{e^{3x}+e^x} } \mathop{dx integrieren }?