Schwierigkeit sicherzustellen, dass das System eine Lösung hat

Ich versuche eine zu finden A st das System

X 2 + j 2 + 2 X ≤ 1 j = X + A
hat eine einzigartige Lösung. Dann möchte ich diese Lösung finden.

So ist klar, dass die Linie j = X + A muss den Kreis tangieren ( X + 1 ) 2 + j 2 = 2 Stellen Sie sicher, dass die Linie den Kreis trifft. Ich hatte jedoch Probleme mit der ebenen Geometrie, also entschied ich mich für Analysis.

Also die Ableitung der impliziten Funktion (nach der wir geometrisch auflösen können j ) muss mit der Ableitung der Linie übereinstimmen und die Formen müssen sich treffen, sagen wir bei ( X 0 , j 0 ) .

2 X + 2 j D j D X + 2 = 0 ⇒ D j D X = X + 1 − j
Und dies muss gleich der Steigung der Tangente sein, 1, also erhalten wir
X 0 + 1 − j 0 = 1 ⇒ − j 0 = X 0 + 1
Und das haben wir auch j 0 = X 0 + A Geben Sie mir zumindest einen Ausdruck für A bezüglich X 0 ,
− X 0 − A = X 0 + 1 ⇒ − 2 X 0 − 1 = A
Wie beende ich es und erhalte einen Wert für a? Welche Informationen fehlen mir? Ich wäre auch mit einem geometrischeren Ansatz einverstanden.

Antworten (1)

Es sieht so aus, als hätten Sie die Tatsache nicht genutzt, dass der Punkt ( X 0 , j 0 ) erfüllt eigentlich die Ungleichung. Da es sich um den einzigen Punkt auf der Linie handelt, der die Ungleichung erfüllt, wird es durch Stetigkeit tatsächlich zu einer Gleichheit. Das heißt, Sie müssen haben X 0 2 + j 0 2 + 2 X 0 = 1 ; dann kannst du schreiben X 0 Und j 0 bezüglich A und löse nach A .

Alternativ scheint es mir, dass Sie diesen Weg komplizierter machen, als es sein muss. Einfach ersetzen j = X + A in die Ungleichheit zu bekommen

X 2 + ( X + A ) 2 + 2 X ≤ 1
die umgestellt werden können
2 X 2 + ( 2 A + 2 ) X + ( A 2 − 1 ) ≤ 0.

Wenn dies eine eindeutige Lösung hat, dann 2 X 2 + ( 2 A + 2 ) X + ( A 2 − 1 ) > 0 für alle X außer einem einzigen X wo ist es 0 ; dies wird passieren, wenn die Diskriminante von 2 X 2 + ( 2 A + 2 ) X + ( A 2 − 1 ) Ist 0 . Sie können dann einfach nach lösen A wenn die Diskriminante ist 0 .

Ich hatte gehofft, dass ich zu kompliziert war, ich wollte das wirklich nicht ausdehnen. Vielen Dank für Ihre Antwort
Können Sie den Punkt zum IVT näher erläutern?
Eigentlich ist es nicht wirklich das IVT, es ist nur Kontinuität: Wenn X 0 2 + j 0 2 + 2 X 0 < 1 , dann ändern X 0 um einen kleinen Betrag (und ändern j 0 entsprechend) wird es immer noch weniger als sein 1 , Verletzung der Eindeutigkeit.
Oder mit anderen Worten, der Ausdruck ist ein perfektes Quadrat?
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