Spivak Frage 14, Kapitel 1, Klärung einer Aussage.

Teil (a) beweist | A | = | − A | Der eigentliche Beweis in Spivaks Arbeitsbuch ist ziemlich einfach. Akzeptieren wir dies als erledigt.
Teil (b) beweist − B ≤ A ≤ B ⟺ | A | ≤ B . Es gibt viele Fragen, die dies auf vielfältige Weise im Stack-Austausch beweisen, einschließlich natürlich Fragen zum Ansatz von Spivak. Lassen Sie uns der Argumentation wegen noch einmal davon ausgehen, dass dies bewiesen ist.

Jetzt, sagt Spivak

es folgt dem − | A | ≤ A ≤ | A |

Ein Fragesteller bat um eine Erklärung, und die Antwort mit der höchsten Zustimmung war

lassen B = | A | und du bist fertig.

Könnte jemand das Offensichtliche hier erklären? Ja, in der Tat, wenn Sie ersetzen | A | für B Es liefert den geforderten Beweis, aber die Vorstellung, dass man eine Variable einfach durch einen absoluten Wert ersetzen kann, ist meiner Meinung nach das, wonach der vorherige Fragesteller und ich fragen. Und fast zwangsläufig bedeutet dies, dass uns oder in diesem Fall mir etwas in meinem Verständnis absoluter Werte fehlt.
Wenn diese Frage etwas verwirrend ist, bedeutet dies wahrscheinlich, dass ich etwas Offensichtliches übersehe, daher die Frage.

Antworten (2)

Die Verwirrung besteht nicht darin, was absolute Werte sind, sondern darin, was Variablen sind.

Die Aussage

− B ≤ A ≤ B ⟺ | A | ≤ B
(mit einem impliziten „für alle A , B ∈ R am Anfang) bedeutet, dass wenn wir irgendwelche Werte von haben A Und B für die eine der beiden Seiten gilt, können wir ableiten, dass auch die andere Seite für sie gilt. Wir könnten zum Beispiel nehmen A = − 3 Und B = 5 , und überprüfen Sie die rechte Seite: | − 3 | ≤ 5 . Dann könnten wir gleich auf die linke Seite schließen: das − 5 ≤ − 3 ≤ 5 .

Was wir auch tun können, ist für jeden Wert von A , wählen Sie den Wert aus B = | A | . Der absolute Wert ist hier nichts Besonderes: Wir hätten auswählen können B = A 2 , oder B = e Protokoll ⁡ A , oder irgendein anderer Ausdruck in A . Aber pflücken B = | A | ist bequem, weil dann die rechte Seite | A | ≤ B vereinfacht zu | A | ≤ | A | , von dem wir wissen , dass es für alle gilt A .

Daher die linke Seite, die sich vereinfacht zu − | A | ≤ A ≤ | A | , muss auch für alle gelten A .

Sehr schön. Danke schön. Ihre Erklärung ist das, was ich brauchte, insbesondere den Teil der Bequemlichkeit der Auswahl | A | und wie das passt. Nochmals vielen Dank.
Misha ... bitte erlauben Sie mir zu sehen, ob ich das tatsächlich richtig gemacht habe ... Sobald es bewiesen ist (Ihre "Aussage"), können wir es verwenden. Ihr Punkt fügt das hinzu, was ich vermisst habe, dh wenn es für eine Seite gilt, gilt es für die andere. Kernpunkt jedenfalls für mich. Also, jetzt pflücken B = | A | , und ich nehme an, wir können die verwenden = hier als Originalbeweis verwendet ≤ setzt das fest, was wir wissen, wie Sie betonen, daher können wir das sofort auf die linke Seite anwenden. Mischa, Sie haben Spivaks Aussage diese „Haken“ hinzugefügt und ihr damit viel mehr Tiefe verliehen. Danke schön.
Ja, ich denke, du hast es. Es könnte einfacher sein, über das Ganze nachzudenken, wenn wir eine andere Variable wie verwenden X . "Einstellung A = X Und B = | X | , Wir wissen das | A | ≤ B Weil | X | ≤ | X | , so schließen wir − B ≤ A ≤ B oder − | X | ≤ X ≤ | X | " unterscheidet sich nicht von "Einstellung A = − 3 Und B = 5 , Wir wissen das | A | ≤ B Weil | − 3 | ≤ 5 , so schließen wir − B ≤ A ≤ B oder − 5 ≤ − 3 ≤ 5 ".
Habe es. Vielen Dank, dass Sie sich die Zeit genommen haben. :-)

(1) − B ≤ A ≤ B ⟺ | A | ≤ B

es folgt dem (2) − | A | ≤ A ≤ | A |

Könnte jemand das Offensichtliche hier erklären? Ja, in der Tat, wenn Sie ersetzen | A | für B Es liefert den geforderten Beweis, aber die Vorstellung, dass man eine Variable einfach durch einen absoluten Wert ersetzen kann, ist meiner Meinung nach das, wonach der vorherige Fragesteller und ich fragen.

Stellungnahme ( 1 ) liest:

für jede  ( A , B ) ∈ R 2 , − B ≤ A ≤ B ⟺ | A | ≤ B .
Deshalb,
für jede  ( A , B ) ∈ R 2 , | A | ≤ B ⟹ − B ≤ A ≤ B .
Insbesondere:
für jede  ( A , | A | ) ∈ R 2 , | A | ≤ | A | ⟹ − | A | ≤ A ≤ | A | .
Mit anderen Worten:
für jede  A ∈ R , | A | ≤ | A | ⟹ − | A | ≤ A ≤ | A | .
Daher,
für jede  A ∈ R ,
seit | A | ≤ | A | ist in der Tat wahr, von Modus Ponens,
− | A | ≤ A ≤ | A | ,
nach Bedarf.

(Beachte das | A | gleich A wenn letzteres positiv und gleich ist − A wenn letzteres negativ ist; mit anderen Worten, | A | -wie A , B , − A Und − B – ist nur eine Variable im Universum des Diskurses R . )

Vielen Dank für Ihre Antwort. Es hilft, einen schönen Überblick zu haben, wie von Ihnen bereitgestellt.
Ooops ... Ihr Kommentar ist verschwunden, aber das ist immer noch relevant! Ryan, ja, ganz sicher. Und diese Beweise im Detail zu betrachten, hilft mir jedenfalls weiter. Außerdem werden sie durch Beschönigen später nicht klarer!! Besonders mit Spivak, der routinemäßig ausgräbt, was zuvor getan wurde. Die wahre Freude, Antworten von echten Mathematikern zu lesen, besteht darin, ihre Denkweise zu verstehen. Das ist ein tolles Geschenk, danke.
@user1115542 Alles, was ich gesagt habe, war so etwas wie „wirklich langsamer werden, zu den Grundlagen zurückkehren, fragen und das „Offensichtliche“ sagen, hilft manchmal bei bekannten blinden Flecken.“ (Und ich habe gerade die obige Antwort erweitert.) Ja, MSE ist wirklich ein Juwel für Mathematiklerner!
Nochmals vielen Dank. Darf ich um ein paar Klarstellungen bitten. Nur zur bestätigung, R 2 , ein Paar Reals? Und könnten Sie erklären, warum wir verwenden − B ≤ A ≤ B ⟺ | A | ≤ B , aber wir verwenden | A | ≤ B ⟹ − B ≤ A ≤ B . Ich glaube, ich verstehe den Rest von dem, was Sie sagen, und mag es, aber ich vermute, die Unterschiede in der Bedeutung zu verstehen ⟺ Und ⟹ ist hier wichtig.
Gern geschehen, @user1115542 . 1. „Für jeden ( A , B ) ∈ R 2 " ist nur eine schicke Art zu sagen " ∀ A ∈ R ∀ B ∈ R ". 2. Ich habe den Rechts-nach-Links-Teil (die umgekehrte Richtung) der Bi-Implikation extrahiert, weil wir nur diesen Teil benötigen, um das erforderliche Endergebnis (unter Verwendung von Modus Ponens) zu erhalten.
Danke Ryan. Ich bekomme einen Crashkurs in mathematischer Notation. :-) (Einschließlich, ∀ , was keiner Erklärung bedarf :-) ). OK habe es. Unter Ihnen und Mischa, Sie haben mir sicherlich geholfen, und zweifellos anderen, die an demselben Punkt gestolpert sind, indem Sie auch versucht haben, mit allen Problemen von Spivak methodisch umzugehen.
Spivak Frage 14, Kapitel 1, Klärung einer Aussage.
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