Absolutwert-Ungleichungen (Quadrat)

Ich kämpfe derzeit mit den Lösungen von Absolutwertungleichungen, die Quadrate beinhalten. Dies ist das Beispielproblem:

X | X + 5 | ≥ − 6

Ich bin in der Lage, die Lösungen zu finden, aber ich kämpfe mit der Intervallnotation. Ich habe überlegt, die beiden quadratischen Funktionen grafisch darzustellen und den schattierten Bereich als Lösungen zu finden, aber ich verstehe immer noch nicht, wie die Lösung ist [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ] . Ich verstehe [ − 6 , − 3 ] aber nicht die ∞ Teil. Ja, ich kann dies tun, indem ich Werte einfüge und überprüfe, ob die Lösungen funktionieren, aber das ist nicht effizient. Was mache ich falsch? Ich schätze jede Hilfe.

https://www.desmos.com/calculator/7j8yamvbzv

Dies ist mein Diagramm, das ich erstellt habe, um die Lösungen zu finden.

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Während die grafische Darstellung Antworten liefert (möglicherweise aufgrund der Art, Punkte auf einem Bild zu finden, ungefähr), wäre eine strengere Art, das Problem in Fälle zu zerlegen. Ihre Ungleichheit fragt beim Produkt X | X + 5 | größer oder gleich ist − 6 . Man könnte denken X | X + 5 | als stetige Funktion, also Punkte wo X | X + 5 | = − 6 spielen genau eine Rolle als Grenzen von Regionen (Intervallen), in denen die Ungleichung erfüllt ist.

Antworten (2)

Sie sollten zwei getrennte Fälle betrachten: Fall (a): X + 5 ≥ 0 . In diesem Fall wird die Ungleichheit X 2 + 5 X + 6 ≥ 0 . Die Lösungen dieser quadratischen Ungleichung sind ( − ∞ , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) . Unter Berücksichtigung dessen X ≥ − 5 gibt [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Fall (b): Hier X + 5 ≤ 0 , was uns gibt − X 2 − 5 X + 6 ≥ 0 . Diese Ungleichung hat Lösungen [ − 6 , 1 ] . Zusammen mit X ≤ − 5 das gibt [ − 6 , − 5 ] .

Das Hinzufügen der Lösungen ergibt [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) .

| X + 5 | = { X + 5 Wenn  X ≥ − 5 − X − 5 Wenn  X < − 5

Fall 1: X ≥ 5

X | X + 5 | ≥ − 6 X ( X + 5 ) ≥ − 6 X 2 + 5 X ≥ − 6 X 2 + 5 X + 6 ≥ 0 ( X + 2 ) ( X + 3 ) ≥ 0
Der Ausdruck auf der linken Seite ist gleich Null, wenn X = − 2 oder X = − 3 . Es ist positiv, wenn die Faktoren beide positiv oder beide negativ sind. Beide Faktoren sind positiv, wenn X > − 2 . Beide Faktoren sind negativ, wenn X < − 3 . Daher, wenn X ≥ − 5 , die Ungleichung ist erfüllt, wenn X ≤ − 3 oder X ≥ − 2 .

Da wir das verlangen X ≥ 5 Und X ≤ − 3 oder X ≥ 5 Und X ≥ − 2 , − 5 ≤ X ≤ − 3 oder X ≥ − 2 . Wir schreiben in Intervallschreibweise

{ X ∈ R ∣ − 5 ≤ X ≤ − 3 } = [ − 5 , − 3 ] { X ∈ R ∣ X ≥ − 2 } = [ − 2 , ∞ )
Daher, wenn X ≥ − 5 und erfüllt die Ungleichung X | X + 5 | ≥ − 6 , Dann
X ∈ [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Fall 2: X < − 5

X | X + 5 | ≥ − 6 X ( − X − 5 ) ≥ − 6 − X 2 − 5 X ≥ − 6 X 2 + 5 X ≤ 6 X 2 + 5 X − 6 ≤ 0 ( X + 6 ) ( X − 1 ) ≤ 0
Der Ausdruck auf der linken Seite ist gleich Null, wenn X = − 6 oder X = 1 . Es ist negativ, wenn die beiden Faktoren entgegengesetzte Vorzeichen haben, was eintritt, wenn − 6 < X < 1 . Die Ungleichung ist also erfüllt, wenn X < − 5 Und − 6 ≤ X ≤ 1 , So − 6 ≤ X < − 5 . Wir schreiben in Intervallschreibweise
{ X ∈ R ∣ − 6 ≤ X < − 5 } = [ − 6 , − 5 )
Daher, wenn X < − 5 und erfüllt die Ungleichung X | X + 5 | ≥ − 6 , Dann
X ∈ [ − 6 , 5 )

Lösung: Die Lösung der Betragsungleichung X | X + 5 | ≤ − 6 ist die Vereinigung der Lösungen für die Fälle X ≥ 5 Und X < 5 , also erhalten wir die Lösungsmenge

S = [ − 5 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ ) ∪ [ − 6 , − 5 ) = [ − 6 , − 3 ] ∪ [ − 2 , ∞ )

Absolutwert-Ungleichungen (Quadrat)
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