Lösen von 8+2x−x2−−−−−−−−−√>6−3x8+2x−x2>6−3x\sqrt{8+2x-x^2} > 6-3x.

Nehmen wir an, wir haben eine Ungleichung$\sqrt a>b$. Wir sind oft daran interessiert, die Quadratwurzel loszuwerden, also wollen wir etwas in der Art von „Quadrieren beider Seiten“ machen. Aber das Quadrieren beider Seiten bewahrt nicht unbedingt die Ungleichheit.

Beispiel:

$$\sqrt5>-3$$

Aber

$$\implies\sqrt5^2>(-3)^2 \implies 5\gt9$$

ist eindeutig falsch.

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Wenn Sie eine allgemeine Regel wünschen, sollten Sie verwenden

$$|a|\gt|b|\iff a^2>b^2$$

Dies erklärt, warum Sie hier getrennte Fälle betrachten müssen

Verwenden Sie einfach diese Grundregeln für irrationale (Un-)Gleichungen, die auf der Domäne gelten$A\ge 0$:

$$\begin{alignat}{2} &\bullet\quad \sqrt A> B\iff A>B^2\quad\text{OR}&&\quad B<0 \\ &\bullet\quad \sqrt A < B\iff A < B^2\quad\text{AND}&&\quad B\ge 0 \\ &\bullet\quad \sqrt A = B\iff A = B^2\quad\text{AND}&&\quad B\ge 0 \end{alignat}$$

Die Domäne gibt$-2\leq x\leq4$.

Für$x>2$mit der Domäne ist unsere Ungleichung wahr.

Aber für$x\leq2$wir können quadrieren,

was gibt$5x^2-19x+14<0$oder$1<x<2.8$und da$(1,2]\cup(2,4]=(1,4]$, bekommen wir die Antwort:

$$(1,4]$$