Ungleichung mit Cauchy Schwarz

Vorausgesetzt$x, y, z \geq 0$, ergibt die Cauchy-Schwarz-Ungleichung

$$\begin{align*} &\left((y + z) + (z + x) + (x + y)\right)\left(\frac{x^2}{y + z} + \frac{y^2}{z + x} + \frac{z^2}{x + y}\right) \\ &\geq \left(\sqrt{y + z}\sqrt{\frac{x^2}{y + z}} + \sqrt{z + x}\sqrt{\frac{y^2}{z + x}} + \sqrt{x + y}\sqrt{\frac{z^2}{x + y}}\right)^2 \\ &= (x + y + z)^2 \end{align*}$$

und man kann sich aufteilen$(y + z) + (z + x) + (x + y) = 2(x + y + z)$auf beiden Seiten, um Ihre Ungleichheit zu bekommen.

Schreiben$a:=y+z,\,b:=z+x,\,c:=x+y$(eine gemeinsame Strategie mit$3$-Variable zyklische Symmetrieprobleme, besonders wenn$y+z$usw. erscheint), also ist die vermutete Ungleichung$(a+b+c)\sum_\text{cyc}\frac{x^2}{a}\ge(x+y+z)^2$. Jetzt nimm$a_1=\sqrt{a},\,b_1=\frac{x}{\sqrt{a}}$usw.

Beachten Sie, dass dieser Beweis nie verwendet wurde$xyz=1$. Multiplizieren jedes von$x,\,y,\,z$von$\lambda>0$multipliziert auch beide Seiten Ihrer Ungleichung mit$\lambda$und bewahrt seine Wahrheit, und daher sollte jeder Beweis, den wir erhalten, nur verwendet werden müssen$xyz>0$.