Beweis mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Sagen wir$a_1, a_2, ..., a_n$sind positive reelle Zahlen und$a_1 + a_2 + ... + a_n = 1$

Ich muss den folgenden Ausdruck mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung beweisen, aber ich weiß nicht, wie das geht.

$\sqrt{{a_1}} + \sqrt{{a_2}} + \dots + \sqrt{{a_n}} \leq \sqrt{n}$

Auswahl eines zweiten Satzes reeller Zahlen$b_1 = b_2 = \dots b_n = 1$und Anwendung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung habe ich die nächste Ungleichung erhalten, die fast trivial ist:

$1 \leq \sqrt{n} . \sqrt{{a_1^2}+{a_2^2}+\dots+{a_n^2}}$

aber ich denke, es ist eine Sackgasse und nicht der richtige Weg, es zu beweisen.

Bitte, irgendwelche Ideen?

Vielen Dank im Voraus.