Verwendung von Cauchy-Schwarz zum Beweis der Ungleichung

Question

Verwendung von Cauchy-Schwarz zum Beweis der Ungleichung

Ungleichheit
Mathematik
Lineare Algebra
Cauchy-Schwarz-Ungleichung

atefsawaed

Ich versuche das für alle zu beweisen $x_1,\dots,x_n,y_1,\dots,y_n \in \mathbb R$

{(\sum_{ich = 1}^{N} X_{ich} j_{ich})}^{2} \leq (\sum_{ich = 1}^{N} ich X_{ich}^{2}) \cdot (\sum_{ich = 1}^{N} \frac{j_{ich}^{2}}{ich})

$\left( \sum_{i=1}^{n}x_i\ y_i \right)^2 \leq \ \left(\sum_{i=1}^{n}i \ x_i^2 \right) \cdot \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{y_i^2}{i} \right)$

Ich kenne die Cauchy-Schwarz-Ungleichung $(\sum_{i=1}^{n}x_i\ y_i)^2 \leq \ (\sum_{i=1}^{n}x_i^2) \cdot (\sum_{i=1}^{n} y_i^2)$

Das versuche ich zu zeigen $(\sum_{i=1}^{n}x_i^2) \cdot (\sum_{i=1}^{n} y_i^2) \leq \ (\sum_{i=1}^{n}i \ x_i^2) \cdot (\sum_{i=1}^{n} \frac{y_i^2}{i})$ aber ich weiß nicht wie ich da weiter machen soll..

Surb

Also,

x_{i} y_{i} = {\tilde{x}}_{i} {\tilde{y}}_{i}

$x_iy_i = \tilde x_i \tilde y_i$ mit

{\tilde{x}}_{i} = \sqrt{i} x_{i}

$\tilde x_i = \sqrt ix_i$ Und

{\tilde{y}}_{i} = \frac{y_{i}}{\sqrt{i}}

$\tilde y_i = \frac{y_i}{\sqrt i}$ ... also nutze einfach CS an

\tilde{x}, \tilde{y}

$\tilde x, \tilde y$

Antworten (2)

Verwendung von Cauchy-Schwarz zum Beweis der Ungleichung

Also, $x_iy_i = \tilde x_i \tilde y_i$ mit $\tilde x_i = \sqrt ix_i$ Und $\tilde y_i = \frac{y_i}{\sqrt i}$ ... also nutze einfach CS an $\tilde x, \tilde y$

Zestylemonzi · Answer 1

Tipp: Schreiben

{(\sum_{ich = 1}^{N} X_{ich} j_{ich})}^{2} = {(\sum_{ich = 1}^{N} (X_{ich} \sqrt{ich}) (\frac{j_{ich}}{\sqrt{ich}}))}^{2} .

$\left(\sum_{i=1}^n x_iy_i\right)^2 = \left(\sum_{i=1}^n (x_i \sqrt{i}) \left( \frac{y_i}{\sqrt{i}}\right)\right)^2.$ Was passiert, wenn Sie CS darauf anwenden?

Jose Carlos Santos · Answer 2

$\displaystyle\left(\sum_{i=1}^nx_iy_i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^n\left(\sqrt ix_i\right)\left(\frac{y_i}{\sqrt i}\right)\right)^2\leqslant\left(\sum_{i=1}^ni{x_i}^2\right)\left(\sum_{i=1}^n\frac{{y_i}^2}i\right)$

Verwendung von Cauchy-Schwarz zum Beweis der Ungleichung

atefsawaed

Surb

Antworten (2)

Zestylemonzi

Jose Carlos Santos

Kann der Cauchy-Schwarz umgekehrt werden, mit ∥a∥2∥b∥2≤K⟨a,b⟩2‖a‖2‖b‖2≤K⟨a,b⟩2\|a\|^2\|b \|^2\le K \langle a,b\rangle^2?

Ist die folgende Verallgemeinerung der Cauchy-Schwarz-Ungleichung wahr?

Ungleichung mit Cauchy Schwarz

Ist der Schnittpunkt zweier keilförmiger Bereiche auch keilförmig?

Beweis mit Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Beweis einer Cauchy-Schwarz-ähnlichen Ungleichung

Eine Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Gibt es eine Obergrenze für die Spur der positiv bestimmten Matrix als Funktion der Spur der Inversen der Matrix?

Frage: Verwenden der Cauchy-Schwarz-Ungleichung zum Vergleichen zwischen 2 Ausdrücken

Können Sie die Umlagerungsungleichung mit Cauchy-Schwarz beweisen?