Beweis einer Cauchy-Schwarz-ähnlichen Ungleichung

Für reelle Zahlen$x_1,\ldots,x_n$Und$y_1,\ldots,y_n$mit

$$x_1,y_1>0,\ x_1^2>x_2^2+\ldots+x_n^2,\ y_1^2>y_2^2+\ldots+y_n^2,$$ zeige, dass $$x_1y_1-x_2y_2-\ldots-x_ny_n \geq \sqrt{(x_1^2-x_2^2-\ldots-x_n^2)(y_1^2-y_2^2-\ldots-y_n^2)}$$ und bestimmen Sie die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Gleichheit.

Diese Ungleichung stammt also (vielleicht offensichtlich) aus der Lorentzschen linearen Algebra. Insbesondere die Cauchy-Schwarz-Ungleichung für die Lorentz-Norm. Der Beweis, den ich sah, vereinfachte das Problem tatsächlich erheblich, indem er dies ohne Verlust der Allgemeinheit annahm$y=(1,0,0,\ldots,0)$(wenn ich mich recht erinnere). Dieses 'wlog' wurde durch ein Lemma gerechtfertigt, das wir zuvor bewiesen hatten, dass die positive Lorentz-Gruppe transitiv wirkt$m$-dimensionale zeitähnliche Unterräume von$n$-dimensionaler hyperbolischer Raum, der selbst etwas involviert war, unter Verwendung der Gram-Schmidt-Orthonormalisierung im Beweis.

Abgesehen davon würde ich gerne wissen, ob es direkte algebraische Beweise dafür gibt, da es an sich nur ein elementares algebraisches Problem ist. Ich würde mich wundern, wenn die Eigenschaften hyperbolischer Isometrien wirklich notwendig wären, um diese Ungleichung zu beweisen. Ich hoffe ich habe mich in der Problemstellung nicht vertan.