Wie entscheidet man, welche Ungleichung/Gleichung man von vielen lösen sollte, um die Lösungsmenge ohne irgendwelche Fremdlösungen zu erhalten?

Hintergrund: Dieses Problem stammt aus meinem Lehrbuch: Let X 2 − ( M − 3 ) X + M = 0 ( M ∈ R ) eine quadratische Gleichung sein. Finde die Werte von M in dem mindestens eine eine Wurzel liegt ( 1 ,   2 ) .

Die Lösung für dieses Problem, die im Buch angegeben wird, sieht folgendermaßen aus:

Fall I: Genau eine Wurzel liegt darin ( 1 ,   2 ) . So,

F ( 1 ) F ( 2 ) < 0 ⇒ M > 10

Fall II: Beide Wurzeln liegen im Intervall ( 1 ,   2 ) . Dann, D ≥ 0 ⇒ ( M − 1 ) ( M − 9 ) ≥ 0

⇒ M ≤ 1  oder  M ≥ 9.
Auch  F ( 1 ) > 0 Und F ( 2 ) > 0
⇒ 10 > M
Und  1 < − B 2 A < 2
⇒ 5 < M < 7
Also keine solche M existiert.

Somit, M ∈ ( 10 , ∞ ) .

Frage: Aber wie hat der Autor entschieden, welche "Eigenschaften" er verwenden soll, um solche Probleme zu lösen? Im Fall I liegt genau eine Wurzel in (1, \ 2), also sind die folgenden Eigenschaften die von einer solchen Quadratur erfüllt werden:

  • Der Scheitelpunkt des Quadrats ist größer als 1 aber weniger als 2 .
  • und Summe und Produkte der Wurzeln werden positiv sein, dh lassen.
  • und der Graph des Quadrats ist nach oben konkav.
  • Und F ( 1 ) F ( 2 ) < 0
  • Und A F ( 2 ) > 0
  • Und A F ( 1 ) > 0

und so weiter ... aber der Autor hat gerade die letzte 3. Eigenschaft gewählt, warum? Sicherlich werden wir viele andere Ungleichungen und Gleichungen erhalten, nachdem wir diese Eigenschaften "mathematisiert" haben, die den Begriff " M ", sollten wir nicht alle Ungleichungen und Gleichungen lösen, um die Lösung zu erhalten; am Ende besteht möglicherweise die Möglichkeit, dass andere Gleichungen / Ungleichungen die Menge möglicher Werte von "begrenzt" haben könnten M , das heißt, wir erhalten möglicherweise irrelevante Lösungen für das Problem.

[ Beachten Sie das Wort "und" , alle diese Eigenschaften sind erfüllt, also nehmen Sie an , dass wir nach dem Lösen, sagen wir der 1. Eigenschaft, so etwas wie bekommen M < 0 , dann müssen wir den Schnittpunkt dieser Menge und nehmen M ∈ ( 10 , ∞ ) . ]

Ebenso kann ich viele Eigenschaften für zweite Fälle auch auflisten und wieder das gleiche Problem.

Warum ist sich der Autor also so sicher, dass ihm das Lösen dieser spezifischen Ungleichung einen Lösungssatz ohne fremde Lösungen liefert? Tatsächlich hat er es richtig gemacht . Sicherlich muss es einen Weg geben zu wissen, dass Sie nach dem Lösen einer bestimmten Gleichung / Ungleichung, die aus einer bestimmten Eigenschaft generiert wird, zu einem Lösungssatz ohne fremde Lösungen führt.

@ Ryan G Ja, das weiß ich, aber mein Punkt war, warum der Autor es nur gelöst und trotzdem die richtige Antwort bekommen hat?
Gleiches Polynom, verwandte Frage: math.stackexchange.com/questions/4176361/…

Antworten (2)

Sie haben gezeigt, dass „es eine Wurzel in gibt ( 1 , 2 ) " ⟹ M > 10 . Dies ist jedoch noch keine Äquivalenz, da Sie sagen, dass Fremdlösungen eingeführt werden könnten. Beachten Sie jedoch, dass die Umkehrung einfach ist. Wir haben: M > 10 ⟹ F ( 1 ) F ( 2 ) < 0 ⟹ „Es gibt eine Wurzel in ( 1 , 2 ) ".

Ja, aber ich verstehe nicht ganz, wie das erklärt, welche Ungleichung / Gleichung man auswählen sollte.
Es spielt keine Rolle, welche Methode Sie wählen, solange sie die Antwort liefert. Es wurde gezeigt, dass „es eine Wurzel in gibt ( 0 , 1 ) " ist äquivalent zu M > 10 . Wenn Sie eine andere Methode verwenden können, um das Ergebnis zu erhalten, dann machen Sie es.
Verstehe ich also richtig, dass wir nicht entscheiden können, welche Gleichung / Ungleichung wir zuerst lösen sollen, aber wenn wir eine Lösung erhalten, die umgekehrt unsere Fragenbedingung impliziert, besteht keine Notwendigkeit, andere eq / ieq zu lösen?
@IDKWTD: Es gibt kein deterministisches Verfahren, mit dem Sie herausfinden können, wie eine Gleichung oder Ungleichung gelöst wird. Angenommen, Sie möchten alles als real finden X > 0 so dass X X + X 2 + 1 = 3 X . Es gibt keinen offensichtlichen Weg, dies zu tun. Aber die grafische Darstellung deutet schnell darauf hin, dass der Ausdruck bei Null ist X = 1 und an anderer Stelle positiv, und legt daher nahe, dass wir beweisen, dass es konvex ist und bei Nullableitung hat X = 1 .

Für Fall I hätte der Autor klarer und schriftlicher sein können

  1. genau eine Wurzel liegt darin ( 1 , 2 ) ⟺ F ( 1 ) F ( 2 ) < 0 ⟺ M > 10

anstatt

  1. genau eine Wurzel liegt darin ( 1 , 2 ) ⟹ F ( 1 ) F ( 2 ) < 0 ⟹ M > 10.

Sie haben Recht, dass Aussage (2) streng genommen nur eine Kandidatenlösung darstellt { M ∈ R ∣ M > 10 } , von denen die eigentliche Lösung eine Teilmenge ist. Andererseits versichert Aussage (1) dem Leser, dass „ M > 10 “ und „genau eine Wurzel liegt darin ( 1 , 2 ) “ sind in der Tat äquivalente Aussagen und als solche { M ∈ R ∣ M > 10 } ist die eigentliche Lösungsmenge ohne Fremdanteil.

Es ist zulässig, Aussage (1) anstelle der schwächeren Aussage (2) zu schreiben, weil wir beobachten, dass sowohl Aussage (2) als auch ihre Umkehrung wahr sind, da die Argumentationskette sowohl in Vorwärts- als auch in Rückwärtsrichtung korrekt ist.

Fall II

beide (verschiedene oder wiederholte) Wurzeln liegen auf ( 1 , 2 ) ⟹ [nichtnegative Diskriminante und Symmetrielinie liegt an ( 1 , 2 ) ] ⟹ [ D ≥ 0 Und 1 < − B 2 A < 2 ] ⟹ M hat keinen möglichen Wert

Der Autor ist sehr schlecht. Haben Sie eine Empfehlung für ein oder mehrere Bücher, die Themen wie Satz von Rolle, Lage von Nullstellen, Natur von Nullstellen, Ungleichungen beinhalten?
Danke, ich habe dieses Buch von Hung-Hsi Wu gefunden, sein (ihr?) Buch ist sehr streng und erklärt im Gegensatz zu meinem aktuellen Buch alles gut. Danke noch einmal.
@IDKWTD Ich freue mich, geholfen zu haben!
Eine letzte Frage; wenn ich gebeten würde zu zeigen, dass eine quadratische Gleichung beide Wurzeln zwischen zwei Zahlen hat, sagen wir k 1 Und k 2 , dann muss ich das nur zeigen D ≥ 0 Und k 1 < − B 2 A < k 2 ? Auch mein Buch erwähnt das A F ( k 1 ) < 0 Und A F ( k 2 ) < 0 sind ebenfalls notwendig.
@IDKWTD Ja, das stimmt: Ich habe gerade meine Antwort in Übereinstimmung mit Ihrem Vorschlag erweitert. (Übrigens für Fall II „ ⟺ ” ist unnötig, da es keine fremde Lösung gibt, um die man sich Sorgen machen muss.)
Wie entscheidet man, welche Ungleichung/Gleichung man von vielen lösen sollte, um die Lösungsmenge ohne irgendwelche Fremdlösungen zu erhalten?
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