Absolute Werte mit Ungleichungen verstehen

Es ist falsch, beide Seiten mit zu multiplizieren$1-|x|$es sei denn, Sie schließen die Bedingung ein, dass$1-|x|>0$.

Die anderen Fälle müssen Sie gesondert betrachten. Für$1-|x|<0$, wird sich die Ungleichheit umkehren.

• Eine Fraktion$\frac ab$ist größer (oder gleich) als$1$in 2 möglichen und sich gegenseitig ausschließenden Fällen:

(1)$a$Und$b$sind sowohl negativ als auch$|a|\geq |b|$

(2)$a$Und$b$sind sowohl positiv als auch und$a \geq b$($a, b \neq 0$)

• Könnten wir im ersten Fall sein? Es würde zunächst erfordern, dass sowohl der Zähler als auch der Nenner negativ sind.

$4|x| - 2 \lt 0 \iff 4|x| \lt 2\iff |x|\lt \frac 12 \iff x\in (-\frac 12 ; \frac 12)$

$1-|x| \lt 0 \iff - |x| \lt -1 \iff |x| \gt 1 \iff x\lt -1 \lor x\gt 1$

Wir sehen, dass der erste Fall inkonsistente Bedingungen erfordert.

• Wir sind also beim zweiten Fall, bei dem beides$a$Und$b$sind positiv und$a\geq b$( Und$a, b \neq 0$).

Wir brauchen daher:

$4|x| -2 \gt 0 \iff |x|\gt \frac 12 \iff (x \lt - \frac 12 \lor x\gt \frac 12)$

Und

$1-|x| \gt 0 \iff |x| \lt 1 \iff ( x\gt -1 \land x\lt 1)$

bedeutet das auch nicht$x\in (-1; -\frac 12)$ODER$x\in (\frac 12; 1)$

• Unter Berücksichtigung dieser Bedingungen können wir die einfache Ungleichung lösen$a\geq b$:

$4|x| - 2 \geq 1 - |x|$

$\iff 5|x| -3 \geq 0$

$\iff |x| \geq \frac 35$

$\iff (x \geq \frac 35) \lor (-x \geq \frac 35)$

$\iff (x \geq \frac 35) \lor (x \leq \ -\frac 35)$

• Kombinieren Sie unsere Bedingungen, nämlich dass: entweder$x\in (-1; -\frac 12)$ODER$x\in (\frac 12; 1)$, und unsere Lösung :

wir bekommen endlich:

$x\in (-1 ; - \frac 35]$ODER$x\in [\frac 35; 1)$.

Ohne Fälle:

Es ist