Warum kann nicht |x−2||x−2||x-2| kleiner als null sein?

Was als absoluter Wert einer Zahl bezeichnet wird, ist nur der Abstand der Zahlen von Null. Als solches ist es immer nicht negativ. Außerdem$|a-b|$ist die Entfernung von$a$Zu$b$.

Ihre erste Gleichung,$|x-2|=5$lautet: „Der Abstand von$x$Zu$2$gleich$5$.", somit$x=-3$oder$x=7$. Nun die zweite Gleichung,$|x-2|=-5$Darin steht: „Der Abstand von$x$Zu$2$gleich$-5$.", was unmöglich ist.

Per Definition haben wir,

$$|x|=\begin{cases}x&\text{ if }x\geqslant0\\-x&\text{ if }x<0,\end{cases}$$ und deshalb haben wir immer$|x|\geqslant0$.

Um die Gleichung zu lösen$|x-2|=5$Sie können zwei Möglichkeiten in Betracht ziehen:

• $x\geqslant2$. Dann$|x-2|=5$ist dasselbe wie$x-2=5$. So,$x=7$.
• $x<2$. Dann$|x-2|=5$ist dasselbe wie$-(x-2)=5$. So,$x=-3$.

Sagen "der absolute Wert der Zahl$N$ist gleich$5$" bedeutet " Ich weiß nicht, welche Zahl ist$N$, aber ich weiß sicher, dass die Entfernung von$N$Zu$0$Ist$5$Einheiten".

Die intuitive Definition des Absolutwerts als Abstand erklärt, warum der Absolutwert nicht negativ sein kann.

In Ihrem Beispiel ist es die Nummer$x-2$das spielt die Rolle von$N$.

Auch wann$N$positiv ist der Abstand von$N$Zu$0$Ist$N-0$und wann$N$negativ ist, ist der Abstand von$N$Zu$0$Ist$0-N$.

Folglich lautet die allgemeine Formel wie folgt, und Sie müssen sie einfach mechanisch anwenden, indem Sie ersetzen$A$durch Ihre spezifische Nummer$5$, Und$N$durch Ihre spezifische Nummer:$x-2$:

$|N| = A$

$\iff [ N-0 = A \space$ODER$\space 0-N =A ]$

$\iff [ N=A \space$ODER$\space 0-N =A]$

$\iff [ N=A \space \mathbb {OR}\space -N = A ]$

Deine Gleichung bedeutet also:

(1)$(x-2)- 0 = 5 \implies x-2= 5 \implies x=7$

ODER

(2)$0 - (x-2) = 5 \implies -x +2 =5 \implies -x = 3 \implies x=-3$

Die Lösungsmenge der Gleichung ist:$\{ -3, 7\}$.

Der Absolutwert einer Zahl gibt den nicht negativen Teil davon zurück, auch wenn die Zahl negativ ist.

Sie müssen also zwei Fälle berücksichtigen, einen, in dem der Term innerhalb des Absolutwerts negativ ist, und einen, in dem er positiv ist:

Fall 1:

$|x-2| = x-2$

Fall 2:

$|x-2| = 2-x$

Ihre zweite Gleichung ist falsch, denken Sie daran, dass Sie den absoluten Wert bereits entfernt haben, als Sie das angegeben haben$x-2 = -5$(als zweite Möglichkeit angesehen) und nicht$|x-2|$=$-5$, da der Absolutwert nur die Größe (Länge) zurückgibt, nicht die Richtung, daher gibt es keine negative Länge.

Die Definition der Absolutwertfunktion ist definiert als

$$|x|=\begin{cases}x&\text{ if }x\geq0\\-x&\text{ if }x<0,\end{cases}.$$

Also wenn$|x-2|=-5$hat keine Lösungen, weil die Funktion$|x-2|$ist größer als definiert$0$egal was.

Jedoch,$0<-5$, hat also keine Lösungen.

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Ich hoffe, das hat geholfen.

Um die Antwort von @michael.hoppe zu erweitern:$|a|$ist in der Tat die Entfernung von$a$Zu$0$denn das sieht man

$$|a|=|a-0|$$ Zu bekommen$a$s Abstand zu jeder anderen Zahl$b$, ersetzen Sie einfach die$0$mit$b$. Also die Entfernung auf einer Linie aus$a$Zu$b$Ist$|a-b|$.
Die Intuition dahinter$|a-b|\geq0$ist, dass eine Distanz immer positiv ist, wie andere gesagt haben. Der eigentliche Grund dafür ist natürlich der Weg$|x|$ist definiert, also $$|a-b|=\begin{cases} a-b, \quad &\text{if} \;\;a-b\geq 0\\ -(a-b)=b-a \quad &\text{if}\;\; a-b<0 \end{cases}$$