Die einzigen Zahlen, in der Dezimalbasis, mit einer Ziffer von$0$für die Einheiten sind diejenigen, die Vielfache von sind$10$, a fortiori, Vielfache von$2$UND$5$. Durch den Hauptsatz der Arithmetik können Sie zeigen, dass es keine Potenz von gibt$2$das ist teilbar durch$5$; somit gibt es keine Macht von$2$was mit a endet$0$Ziffer (in Dezimalbasis).

Beweis 1: Let$a=2^n$Und$b = 2^{n-1}$. Seit$a = 2b$, wenn die letzte Ziffer von$a$Ist$0$, dann die letzte Ziffer von$b$muss sein$0$oder$5$. Seit$b$ungerade ist, kann die letzte Ziffer nicht sein$5$. Aber wenn die letzte Ziffer von$b$Ist$0$, können wir die gleiche Logik anwenden, um die letzte Ziffer von zu finden$2^{n-2}$Ist$0$, und so weiter bis hinunter zu$2$, aber offensichtlich die letzte Ziffer von$2$ist nicht$0$.

Beweis 2: Angenommen, wir nehmen eine Zweierpotenz und schreiben sie als$10a+b$, und multipliziere es dann mit$16$.$16*(10a+b)=160a+16b=160a+10b+5b+b$. Jetzt eindeutig die$160a$Und$10b$Begriffe wirken sich nicht auf die letzte Ziffer aus, und seitdem$b$gerade ist, tut es auch nicht$5b$. Die letzte Ziffer ist also$b$. Dies zeigt, dass immer wenn Sie eine Zweierpotenz nehmen und dann vier weitere Zweierpotenzen nehmen (d.h. multiplizieren mit$2^4=16$), ändern Sie die letzte Ziffer nicht.

Beweis 3: Die letzte Ziffer einer Zahl ist bei Division durch gleich dem Rest$10$, und den Rest zu nehmen, wenn er durch eine Zahl geteilt wird, wird als "modulare Arithmetik" bezeichnet. In der modularen Arithmetik ist die Menge aller Zahlen mit demselben Rest eine Äquivalenzklasse, und diese Äquivalenzklassen verhalten sich wie Zahlen. Auf sie können wir Addition und Multiplikation anwenden und erhalten als Antwort eine Äquivalenzklasse. Zum Beispiel, wenn wir eine Zahl mit einer letzten Ziffer von multiplizieren$2$mit einer Zahl mit einer Endziffer von$3$, das Produkt hat eine letzte Ziffer von$6$. Wenn wir die Zahlenmenge mit der letzten Ziffer darstellen$r$als$\bar r$, Wir können sagen$\bar 2 \times \bar 3 = \bar 6$, und dies gilt unabhängig davon, welche Zahlen wir aus den auswählen$\bar 2$Und$\bar 3$Äquivalenzklassen. Du fragst also nach einem$n$so dass die$\bar 2^n =\bar 0$. Es ist leicht zu erkennen, dass dies nicht möglich ist, aber es gibt auch ein Theorem, das besagt, wenn wir definieren$\phi(n)$als die Anzahl der Zahlen kleiner als$n$die teilerfremd sind$n$, Dann$\bar a^{\phi(n)+1}$In$n$-modulare Arithmetik ist$\bar a$. Seit$\phi(10)=4$($1,3,7,9$sind teilerfremd zu$10$),$\bar 2^{n+4}=\bar2^n$.

Das Folgende sagt uns allgemeiner, was die letzte Ziffer sein kann (obwohl der Beweis etwas informell ist).

(Das Lemma und etwas mehr formale Argumentation ist wirklich das Einzige, was Ihnen gefehlt hat.)

Lemma: Beim Multiplizieren von 2 positiven ganzen Zahlen beeinflussen nur die letzten Ziffern von jeder, was die letzte Ziffer des Ergebnisses sein wird.

Nachweisen: ($x_i$repräsentiert die$i$-te Ziffer der Ganzzahl$x$Und$x_1x_2...x_{n-1} = 0$wenn die Nummer nur 1 Ziffer hat)

$a_1a_2...a_n * b_1b_2...b_n$
$=(10 * a_1a_2...a_{n-1} + a_n) * b_1b_2...b_n\hspace{3cm}(1)$
$=a_n * b_1b_2...b_n + 10 * a_1a_2...a_{n-1} * b_1b_2...b_n$
$=a_n * b_n + 10 * a_n * b_1b_2...b_{n-1} + 10 * a_1a_2...a_{n-1} * b_1b_2...b_n\hspace{1cm}\text{(similar to 1)}$
$=a_n * b_n + 10 * (a_n * b_1b_2...b_{n-1} + a_1a_2...a_{n-1} * b_1b_2...b_n)$

Die letzte Ziffer des 10-fachen einer beliebigen positiven Ganzzahl ist immer 0. Wenn Sie eine solche Ganzzahl mit einer anderen positiven Ganzzahl summieren, ist die letzte Ziffer des Ergebnisses gleich der letzten Ziffer der anderen Ganzzahl. Daher$a_n * b_n$(d. h. die letzten beiden Ziffern jeder Ganzzahl) ist das einzige, was die letzte Ziffer des Ergebnisses beeinflusst. QED

Betrachten wir nun die ersten Potenzen von 2:

Da nur die letzte Ziffer der aktuellen Potenz die letzte Ziffer der nächsten Potenz beeinflusst, haben wir jetzt einen Zyklus.

Wir wissen, dass jede Zahl, die auf 2 endet, multipliziert mit 2, auf 4 endet. Multiplizieren Sie das mit 2, und es wird auf 8 enden, dann auf 6, dann wieder auf 2. Und es wird sich unendlich wiederholen.

Daher sind die nur letzten Ziffern möglich, von$2^1$ab, sind 2, 4, 6 und 8.

Negative Potenzen von 2 können trivialerweise keine 0 am Ende haben.

Daher gibt es keine ganzzahlige Potenz von 2 mit einer letzten Ziffer von 0.

Als Bonusergebnis zeigt dieser Ansatz auch, dass die letzte Ziffer von$2^{1+i}$gleich$2^{1+(i\bmod 4)}\bmod 10$für alle$i \ge 0$.

Ich bin Informatiklehrer und war auch davon fasziniert, also schrieb ich das folgende Programm, um zu beweisen, dass es keine Zahlen gibt, die Vielfache von 5 und Potenzen von 2 sind. Ich bin definitiv kein Mathematiker, also verzeihen Sie den Brute-Force-Ansatz. Wie oben von Plakaten angegeben, ist die sich wiederholende Endziffernfolge von 2,4,8,6 der Beweis / das 'Werbegeschenk'.

Teil 1 - Potenzen von 2 als Referenz einrichten

maxNumber = int(input('Höchste Zahl eingeben')) result = 0 power = 0 base2 = [] while True: result = 2**power if result <= maxNumber: base2.append(result) power += 1 else: Druck brechen (base2)

Teil 2 - Auf die Suche gehen

found = False for i in range(1,maxNumber+1): if i % 5 == 0 and i in base2: print (i,'ist ein Vielfaches von 5 und Potenz von 2') found = True if not found: print ('Es gibt keine Zahlen zwischen 1 und',maxNumber,'die ein Vielfaches von 5 und eine Potenz von 2 sind')