Vielerorts heißt es, dass die letzten Ziffern der Potenzen der Zahlen von 1 bis 9 bestimmte Zyklen haben. Zum Beispiel wiederholen sich die letzten Ziffern von Potenzen von 2 in einem Zyklus von , und die letzten Ziffern von Potenzen von 9 wiederholen sich in einem Zyklus von .
Es scheint, als ob dies auch für größere Zahlen funktioniert. Die letzten Ziffern der Potenzen einer beliebigen Zahl scheinen dem Zyklus des Zyklus der letzten Ziffer der Zahl zu folgen. Zum Beispiel ist der Zyklus der letzten Ziffern von Potenzen von 7 , und der Zyklus der letzten Potenzen von 1097 sind . Ich habe mit meinem Taschenrechner experimentiert und kein einziges Gegenbeispiel gefunden, also vermute ich, dass es für alle Zahlen gilt. Das heißt, die letzten Stellen der Potenzen einer Zahl folgen dem gleichen Zyklus wie die letzten Ziffern der Zahl die Potenzen der letzten Ziffer. Könnte mir jemand einen Beweis dafür zeigen?
Deine Beobachtung ist richtig. Das liegt daran, dass Sie, wenn Sie sich nur die letzten Ziffern ansehen, mit Modulo 10 arbeiten, und Addition und Multiplikation sind wohldefinierte Modulo 10. Da zum Beispiel , dann für jede natürliche , wir haben auch .
Wenn Sie technische Details wünschen, schreiben Sie eine Zahl, die mit der Ziffer endet als . Dann, wenn Sie diese Zahl potenzieren , können Sie den Binomialsatz anwenden:
Da alles außer dem letzten Term ein Vielfaches von 10 ist, ist die letzte Ziffer dieser Summe einfach die letzte Ziffer von .
Ist das sinnvoll?
Andre Nicolas