Verallgemeinerung r(n2)=r(n)2,r(n2)=r(n)2,\,r(n^2) = r(n)^2,\, für r(n):=r( n):=\,r(n) := Kehre die Ziffern von nnn um

Herzlichen Glückwunsch, Sie haben im Wesentlichen eine interessante Eigenschaft von Polynomen entdeckt - wie sie sich (teilweise) in ihren Bewertungen manifestiert (hier Radix$10$Polynome). Das Umkehren der Koeffizienten eines Polynoms ist nämlich eine multiplikative Operation.

Lassen$\,f = a_n x^n +\cdots a_1 x + a_0\,$sei ein Polynom in$x.\,$Das Umkehren seiner Koeffizienten ergibt

$\ \ r(f) = a_0 x^n + \cdots a_{n-1}x + a_n = x^n f(x^{-1}),\ $das Gegenteil (oder Kehrwert) von$\,f.$

Es ist leicht zu zeigen $\,r(fg)\, =\, r(f)r(g),\,$dh Polynomumkehrung ist multiplikativ . Zum Beispiel

$\qquad \begin{align} (x+2)\ (x+3)\, &=\ \ x^2+5x+6\, \overset{\large x\, =\, 10}\Longrightarrow\, 12\cdot 13\, =\, 156\\ \overset{\rm reverse}\Longrightarrow (2x+1)(3x+1)\, &= 6x^2+5x+1\ \ \Longrightarrow\,\ \ 21\cdot 31\, =\, 651 \end{align}$

Ihre Beispiele sind Sonderfälle, wenn das Produkt ein Quadrat ist (von Polynomen des Grades$\le 3),\,$aber von oben sehen wir, dass es auf Polynome beliebigen Grades verallgemeinert. Für die Polynome ergeben sich jedoch ganzzahlige Umkehrungen, wenn sie an der Basis ausgewertet werden$\,x=10\,$Es ist notwendig, dass alle Polynome (einschließlich des Produkts) nicht negative Koeffizienten haben, die kleiner als die Basis sind.

Beachten Sie, dass eine zweimalige Umkehrung das ursprüngliche Polynom ergibt, wenn die Umkehrung denselben Grad hat$(\!\!\iff\! f(0)\neq 0),\,$dh Umkehren ist in diesem Fall eine Involution oder Spiegelung$\,r^2 f = f\,$Seit wir ... Haben$r(r(f(x)) = x^n r(f(x^{-1})) = x^n ((x^{-1})^nf((x^{-1})^{-1}) = f(x).\,$Insbesondere$\,f(0)\neq 0\,$stimmt wann$\,f = rg\,$ist eine Umkehrung, also$\,r^2(rg) = rg,\,$dh$\,r^3g = rg\,$für alle$\,g$.

Anmerkung Im Allgemeinen hilft die Bewertungskarte dabei, (ringtheoretische) Eigenschaften von Polynomen mit Eigenschaften ihrer Bewertungen in Beziehung zu setzen. Zum Beispiel können wir in einigen Kontexten ableiten, dass, wenn ein Polynom einen Wert mit wenigen Faktoren annimmt, das Polynom auch wenige Faktoren haben muss (dies wird oft in Wettbewerbsproblemen verwendet, da es nicht so bekannt ist, wie es sein sollte) .

Man kann diese Idee bis an die Spitze treiben, um einen einfachen Algorithmus zur Polynomfaktorisierung zu erhalten, der die Faktorisierung seiner ganzzahligen Werte und die Lagrange-Interpolation verwendet (unter Verwendung von Ideen, die auf Bernoulli, Schubert und Kronecker zurückgehen).

Hinweis: Wenn ein 3-stelliges Quadrat gleich ist$(10x+y)^2 (1 \leq x,y \leq 9)$, was sind die Bedingungen an$x,y$für die 3 Ziffern in umgekehrter Reihenfolge ein Quadrat zu bilden? Können Sie dies beispielsweise auf eine 5-stellige Quadratgleichung erweitern$(100x+y)^2$?

Der Punkt ist, dass$(10a+b)^2=100a^2+20ab+b^2$. Die Umkehrung funktioniert solange$a^2,2ab,b^2$sind alle kleiner als$10$also kein tragen. Wenn Sie versuchen, zu vierstelligen Quadraten zu gehen, müssen Sie$a^2$oder$2ab$zu tragen, was die Umkehrung scheitern lässt.

Wenn Sie zu dreistelligen Quadratwurzeln gehen, haben wir$(100a+10b+c)^2=10000a^2+2000ab+100(b^2+2ac)+20bc+c^2$. Damit die Umkehrung funktioniert, brauchen Sie hier keine Überträge, also müssen alle Ziffern klein sein.