Mathe-Olympiade 1988 Problem 6: kanonische Lösung (2) ohne Vieta-Sprung

Zu diesem berühmten Problem aus dem Jahr 1988 wurde kürzlich eine Frage in diesem Forum gestellt, aber ich kann darauf nicht antworten, da das Thema für mich abgeschlossen ist (unzureichende Reputation). Deshalb dieser neue Beitrag zum Thema.

Hier ist der Link zum früheren Thema

Das Problem: Seien a und b positive ganze Zahlen. Lassen

$$k={{a^2+b^2}\over{1+ab}}$$ Zeigen Sie, dass wenn $k$ist dann eine ganze Zahl $k$ist ein perfektes Quadrat.

Die Frage war: Gibt es einen direkteren und intuitiveren Weg zur Lösung (anstelle des üblichen Beweises mittels Vieta-Sprung und Widerspruchsbeweis)?

Nachdem ich dieses urkomische Numberphile-Video auf Youtube gesehen hatte, beschloss ich, es selbst auszuprobieren.

Die Lösung, die ich unten gefunden habe, scheint mir kanonischer zu sein, weil es kein Beweis durch Widerspruch ist und zur tatsächlichen Lösung führt. Es beweist nicht nur$k$ist ein Quadrat, aber genauer gesagt:

$$k= {\gcd(a,b)}^2$$

Hier geht's zum Beweis:

Lassen$a > 1$Und$b > a$. In dieser Form:

$$k={{1+{{b^2}\over{a^2}}}\over{{{1}\over{a^2}}+{{b}\over{a}}}}$$ das ist leicht zu sehen $${b\over a} - 1 < k < {b\over a} + 1 \enspace (*)$$ Wenn $b\over{a}$ein Bruch ist, gibt es genau zwei ganze Zahlen im Intervall $$\left\langle{b\over a} - 1 , {b\over a} + 1\right\rangle$$ (Danke Zyx für den Hinweis auf meinen Fehler!).
Allerdings wann $a$teilt $b$Dann $b\over{a}$wird eine ganze Zahl.
Dann kann das obige offene Intervall nur eine ganze Zahl enthalten,
was natürlich sein muss $k$selbst! (**) .
Wir werden diese Tatsache unten verwenden.

Nun, wenn wir schreiben $$b=ka+c$$ wir sehen das $$\mid c \mid < a$$ wegen (*) oben. Ersetzen dieses Ausdrucks im Ausdruck for $k$gibt: $$k={{a^2+(ka+c)^2}\over{1+a(ka+c)}} \enspace or \enspace k(1-ca) = {a^2+c^2} \enspace \enspace$$ Wir sehen das $c$muss negativ sein und ersetzen $a$mit $b'$Und $-c$mit $a'$zu bekommen: $$k={{a'^2+b'^2}\over{1+a'b'}}$$ Das Iterieren dieses Prozesses ist in der Tat der euklidische Algorithmus (etwas anders, aber ähnlich. Siehe Bemerkung zyx unten), um den größten gemeinsamen Teiler von zu finden $a$Und $b$stoppt schließlich bei: $$a' = \gcd(a,b) \enspace$$ aber bis dahin ${{b'}\over{a'}}$kein Bruch mehr ist, sondern eine ganze Zahl, also muss sie gleich sein $k$wegen $(**)$. ( $a'$teilt $b'$Weil $a' = \gcd(a,b)$)
also: $${{b'}\over{a'}}={{a'^2+b'^2}\over{1+a'b'}} \text{ or } b' =a'^3 \text{ or }k =a'^2 \text{ or }k= {\gcd(a,b)}^2$$

Ist das oben richtig oder habe ich etwas übersehen? Wenn nicht, könnte dies ein direkterer Weg sein, um das berühmte Problem 6 zu beweisen?

Lass mich wissen was du denkst!

UPDATE 09.12.2016:
Siehe diesen Link für eine andere Lösung