Suche nach gegebener Obergrenze, Epsilon.

Benötige Hilfe bei der Überprüfung meiner Antworten für Q. 3,4,5 in Abschnitt 2.2.2 in Kap. 2 (Seite 7) im Buch der CRM-Reihe von MAA: Exploratory Examples for Real Analysis, von Joanne E. Snow, Kirk E. Weller. Außerdem ist dieser Beitrag eine Fortsetzung der Frage meines letzten Beitrags .

3. Wählen Sie für jeden Satz in Tabelle 2.2 eine Obergrenze aus$u$dh nicht gleich dem Supremum. Tragen Sie diesen Wert in Spalte 2 ein. Für jeden$\epsilon$die in den Spalten 3, 4 und 5 angegeben sind, bestimmen, ob es Elemente der Menge gibt, die in das halboffene Intervall fallen$(u - \epsilon, u]$. Wenn dies der Fall ist, geben Sie „Ja“ in die entsprechende Zelle der Tabelle ein und beschreiben Sie dann alle Elemente der Menge, die diese Bedingung erfüllen. Wenn es solche Elemente nicht gibt, tragen Sie „nein“ in die Tabelle ein und geben Sie eine Erklärung dafür, warum dies der Fall sein könnte.

$$\begin{array}{c|c|c|c|c|} Set & \text{$u$} & \text{$\epsilon=.5$} & \text{$\epsilon=.1$} & \text{$\epsilon=.05$} & \text{$Q\, 4$} \\ \hline S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \} & 1.001 & (.501,1] & (0.901,1] & (0.951,1] & Yes \\ & & & & &(\forall u | u-s \ge \epsilon) \\ \hline S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\} & 2.51 & \{2.01,\cdots,2.5\} & \{2.5\} & \{2.5\} & --do--\\ \hline S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\} & \frac \pi{2} + 0.1 & (\frac \pi{2} - 0.4, \frac \pi{2}) & no & no & --do-- \\ \hline S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\} & 1.2 & \{1\} & no & no & --do-- \\ \hline \end{array}$$

Die Spalten darunter$\epsilon=0.5, 0.1, 0.05$Überschriften finden Sie unten:

$S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \}$:$s=1$, lassen$u=1.001$.

>$\epsilon=.5$: Gewünschtes Intervall ist$(.501,1.001]$. Die Elemente der Menge$S_1$in der Pause sind in$(.501,1.001]\cap S_1 = (.501,1)$.

>$\epsilon=.1$: Gewünschtes Intervall ist$(.901,1.001]$. Die Elemente der Menge$S_1$in der Pause sind in$(.901,1.001]\cap S_1 = (.901,1)$.

>$\epsilon=.05$: Gewünschtes Intervall ist$(.951,1.001]$. Die Elemente der Menge$S_1$in der Pause sind in$(.951,1.001]\cap S_1 = (.951,1)$.

$S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\}$:$s=2.5$, lassen$u = 2.51$.

Wie in meinem letzten Beitrag gezeigt ,$S_3=\{-3,-2.\overline{33},-2.2, -2.\overline{2.142857}, -2.\overline{1}, \cdots,2.25,2.1\overline{6},2.125,2.5\}$.
>$\epsilon=.5$: Den ersten Term in der Reihe erhalten wollen, für den der Wert erhalten wird$\ge 2.01$. Wird prüfen, ob ein Element der erhalten wird$S_3$an der unteren Grenze des Intervalls.

$2.01 = 2 + \frac 1n\implies .01n=1\implies n = 100$
Putten$n=100$, In$(-1)^n(2+\frac 1n)$erhalten$(-1)^{100}(2+\frac 1{100})\implies \frac {201}{100}= 2.01$.
Daher hat die Menge ein Element an der unteren Grenze, ist dort aber nicht als offene Grenze enthalten.

>$\epsilon=.1$: Den ersten Term in der Reihe erhalten wollen, für den der Wert erhalten wird$\ge 2.41$.

$2.41 = 2 + \frac 1n\implies .41n=1\implies n = \frac{100}{41} \approx 2.43$.
Runden Sie ab, erhalten Sie das nächste$n=2$.
$n=2$ist für höchste$=2.5 \gt 2.43$.
Also nur ein Element$s$Gibt es.

>$\epsilon=.05$: Den ersten Term in der Reihe erhalten wollen, für den der Wert erhalten wird$\ge 2.46$.

$2.46 = 2 + \frac 1n\implies .46n=1\implies n = \frac{100}{46} \approx 2.17$.
Runden Sie ab, erhalten Sie das nächste$n=2$.
$n=2$ist für höchste$=2.5 \gt 2.43$.
Also nur ein Element$s$Gibt es.

$S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\}$:

Lassen,$u=\frac \pi{2} + 0.001$.
Hinweis: Der höchste Wert ($s$) ist eine irrationale Größe. Es wird jedoch davon ausgegangen, dass es erreicht wird$x\rightarrow \infty$. Für messbare Werte von$x$,$s$wird nicht erreicht.

>$\epsilon=.5$: Der Intervallbereich ist:$((\frac{\pi}2-0.4), \frac{\pi}2]$. Das Supremum liegt nicht im Bereich, aber irgendein Wert darunter$s$sollte sein. Auch nehmen$\tan((\frac \pi{2}+0.1) - 0.4 \approx 1.1707963267948966192313216916398)$erhalten messen als$49.49871336^o$. Also alle reellen Zahlen im Intervall$((\frac{\pi}2-0.4), \frac{\pi}2)$gibt es.

>$\epsilon=.1$: Der Intervallbereich ist:$(\frac{\pi}2, \frac{\pi}2+0.1]$. Da das Supremum nicht in der Reichweite ist, gibt es kein Set-Element$S_4$im Intervall.
Beachten Sie, dass$\epsilon (=.1)$ist das gleiche wie der Unterschied zwischen$u,s$, dh$u-s=0.1$.

>$\epsilon=.05$: Der Intervallbereich ist:$(\frac{\pi}2+0.1 -\epsilon (=.05), \frac{\pi}2+0.1]$. Aber die Untergrenze ist größer als$s$, was zu keinem Element der Menge führt$S_4$im Intervall.

$S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\}$:

$s = 1$, lassen$u=1.2$.

>$\epsilon=.5$: Der Intervallbereich ist:$(0.7, 2]$. Die Werte von set in interval sind$\{1\}$.

>$\epsilon=.1$: Der Intervallbereich ist:$(1.1, 2]$, dh im Intervall liegen keine Werte von set.

>$\epsilon=.05$: Der Intervallbereich ist:$(1.05, 2]$, dh im Intervall liegen keine Werte von set.

4. Für jede Obergrenze$u$das ist nicht das Supremum, scheint es möglich, basierend auf den Daten in Tabelle 2.2, eine zu finden$\epsilon\gt 0$in denen keine Elemente der gegebenen Menge liegen$(u - \epsilon, u]$? Wenn ja, tragen Sie ja in Spalte 6 ein (unter$Q 2$) und beschreiben Sie alle solche$\epsilon$. Wenn nicht, tragen Sie in Spalte 6 nein ein. Begründen Sie in jedem Fall Ihre Ergebnisse.

Ja, wenn$u-s \ge \epsilon$, dann befindet sich kein Element von set im gewünschten Intervall, da selbst das Supremum (gerade, wenn es sich im Bereich befindet) nicht in der offenen unteren Grenze liegt.

5. Vergleichen und kontrastieren Sie Ihre Ergebnisse für das Supremum und eine willkürlich gewählte Obergrenze. Scheint insbesondere ein Unterschied im Verhalten zwischen dem Supremum und einer willkürlich gewählten Obergrenze zu bestehen, was die Frage betrifft, ob wir Elemente der Menge finden können?$S_i\,(i=2,3,4,5)$im Intervall$(s - \epsilon, s]$für jeden Wert von$\epsilon \gt 0$?

Der Wert von$\epsilon$war nicht so wichtig, um irgendein Element der jeweiligen Menge zu finden$S_i\,(i=2,3,4,5)$im Intervall$(s-\epsilon, s]$, als$\epsilon\gt 0$; was immer dazu führt, zumindest einen gewissen Wert zu erhalten, im schlimmsten Fall ist das Supremum nicht in der Menge und es gibt diskrete Werte im Bereich.
Aber jetzt brauchen$u-s\lt \epsilon$als ein Muss, um jedes Element in den Sätzen im Intervall zu haben$(u-\epsilon, u]$.

Betrachten wir alle folgenden Mengen, um den letzteren Fall zu zeigen:

$S_2 = \{x\in \mathbb{R}: 0\le x \lt 1 \}$:

Wenn$u-s \ge \epsilon$, sag als$s=1$, Wenn$u=s+1, \epsilon=0.1$, dann kein Element von$S_2$liegt im Intervall$(1.9,2]$.

$S_3 = \{(-1)^n(2+\frac 1n)\,: n\in \mathbb{N}\}$:

Wie in meinem letzten Beitrag gezeigt ,$S_3=\{-3,-2.\overline{33},-2.2, -2.\overline{2.142857}, -2.\overline{1}, \cdots,2.25,2.1\overline{6},2.125,2.5\}$.
Wenn$u-s \ge \epsilon$, sag als$s=2.5$, Wenn$u = 2.9, \epsilon = 0.1$, dann kein Element von$S_3$liegt im Intervall.
Auch wenn$u-s \lt \epsilon$, sag als$s=2.5$, dann ist es möglich, Elemente der Menge im Intervall zu haben. Sprich, wenn$u = 2.625, \epsilon = 0.5$, dann das Element von$S_3$im Intervall sind gesetzt$\{2.125,2.5\}$.

$S_4 = \{arctan(x)\,: x\in \mathbb{R}\}$:

Lassen$u=\frac \pi{2} + k.\epsilon, k\gt 1$. Hier liegt kein Wert von set im Intervall$(\frac \pi{2} + (k-1).\epsilon, \frac \pi{2} + k.\epsilon]$.

$S_5 = \{(-1)^n\,: n\in \mathbb{N}\}$:

Lassen$u=1+ k.\epsilon, k\gt 1$. Hier liegt kein Wert von set im Intervall$(1 + (k-1).\epsilon, 1+k.\epsilon]$.