Mittelwertsatz

Ich versuche einen Beweis des Mittelwertsatzes zu formulieren.

Das ist mir gegeben F ' ist streng steigend.

Bisher habe ich folgendes gesagt:

Lassen

F ( X ) = G ( X ) − λ X  mit  λ  so dass  G ( A ) = G ( B )

Von hier aus kann ich das sagen

F ( A ) = G ( A ) − λ A  Und  F ( B ) = G ( B ) − λ B .

Dann daraus

G ( A ) − G ( B ) = 0 ⇒ F ( A ) − F ( B ) − λ ( A − B ) = 0

Und so

λ = F ( B ) − F ( A ) B − A

Dann existiert nach dem Satz von Rolle C so dass G ' ( C ) = 0 − F ' ( C ) − λ ⇒ F ' ( C ) = λ

Damit haben wir das

F ' ( C ) = F ( B ) − F ( A ) B − A .

Ich weiß, dass dies richtig ist, ich muss zeigen, dass es nur einen gibt C wofür das allerdings gilt. Ich vermute, es hat etwas damit zu tun F ' streng steigend. Wie kann ich das machen?

Es ist nur eine Erweiterung der ursprünglichen Frage.

Antworten (2)

Du hast:

F ' ( C ) = F ( B ) − F ( A ) B − A

F ( B ) − F ( A ) B − A ausgewertet werden können. Als F ' ( C ) streng ansteigend ist, bedeutet dies, dass es sich um eine Eins-zu-eins-Funktion handelt (die den horizontalen Linientest besteht), und daher gibt es nur einen Wert von C was befriedigen kann:

F ' ( C ) = F ( B ) − F ( A ) B − A

Wie würde man zeigen, dass dies der Fall ist?
Was ist der Fall? Wenn Sie nach dem Eins-zu-Eins-Funktionsbit fragen, geht es um Injektivität.
Dass es nur einen Wert von gibt C das kann die Gleichung erfüllen. Wie würden Sie einen Beweis dafür schreiben?
Als F ' streng steigend ist, ist es injektiv. Daher gibt es nur einen Wert von C was die Gleichung erfüllt.
Wie funktioniert F ' streng steigend zu sein implizieren dies F ist injektiv?
Denn das ist eine der Methoden zum Beweis der Injektivität. Wenn Sie ein Diagramm zeichnen F ' die strikt steigend ist, kann nicht zurückgehen - sie kann nur zunehmen. Daher besteht der Graph den horizontalen Linientest und ist injektiv.

Widerspruch verwenden. [und die Tatsache, dass Derivate die Zwischenwert-Eigenschaft haben.]

Könnten Sie das bitte näher erläutern?
Eigentlich braucht man kein IVP. Die Möglichkeit eines anderen Punktes, an dem f' gleich Lambda ist, widerspricht der Tatsache, dass f' strikt ansteigend ist.
Wenn ich also mit etwas anfange wie: „Angenommen, es gibt C , C ' so dass F ( B ) − F ( A ) = F ' ( C ) ( B − A ) . Dies impliziert das F ' ( C ) = F ' ( C ' ) und so seitdem F ist injektiv, C = C ' . Ist das richtig?
Überprüfen Sie den Fall, in dem c<c' und der, in dem c'<c. Sie sollten f'(c)<f'(c') bzw. f'(c')<f'(c) haben. Aber das ist ein Widerspruch, denn in beiden Fällen gilt f'(c)=f'(c').
Mittelwertsatz
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