Beweisen Sie etwas Ähnliches wie eine Variante der Cauchy-Shwarz-Ungleichung

Question

Beweisen Sie etwas Ähnliches wie eine Variante der Cauchy-Shwarz-Ungleichung

Radikale
Ungleichheit
Mathematik
Realanalyse
Proof-Verifizierung

Guter Mann

Cauchy-Shwarz-Ungleichung ist:

(A_{1} B_{1} + A_{2} B_{2} + \dots + A_{N} B_{N})^{2} \leq (A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + \dots + A_{N}^{2}) (B_{1}^{2} + \dots + B_{N}^{2})

$(a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_nb_n)^2 \leq (a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2)(b_1^2 + \cdots + b_n^2)$

Es kann jedoch wie folgt manipuliert werden:

\sqrt{(A_{1} - B_{1})^{2} + (A_{2} - B_{2})^{2} + \dots + (A_{N} - B_{N})^{2}} \leq \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + \dots + B_{N}^{2}}

$\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2}$

Ich habe die Aufgabe, folgende Ungleichung zu beweisen:

\sqrt{(A_{1} + B_{1} + \dots + z_{1})^{2} + (A_{2} + B_{2} + \dots + z_{2})^{2} + \dots + (A_{N} + B_{N} \dots + z_{N})^{2}} \leq \sqrt{A_{1}^{2} + A_{2}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2} + \dots + B_{N}^{2}} + \dots + \sqrt{z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \dots + z_{N}^{2}}

$\sqrt{(a_1 + b_1 + \cdots + z_1)^2 + (a_2 + b_2 + \cdots + z_2)^2 + \cdots + (a_n + b_n \cdots + z_n)^2} \leq \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + \cdots + a_n^2} + \sqrt{b_1^2 + b_2^2 + \cdots + b_n^2} + \cdots + \sqrt{z_1^2 + z_2^2 + \cdots + z_n^2}$

Ich habe sowohl Cauchy-Shwarz als auch seine Manipulation bewiesen, bin aber verloren, wenn es um die Ungleichung oben geht. Hinweise und/oder Lösungen sind willkommen.

Michael Burr

Kannst du nicht einfach tauschen

b_{1}

$b_1$ von

- b_{1}

$-b_1$ in Ihrer manipulierten Version und verwenden Sie dann Induktion?

Markoff Chainz

wenn du dich änderst

b_{1}

$b_1$ von

- z_{1}

$-z_1$ in manipulierter Version wird es nicht reichen? Was bedeuten drei Punkte links von der letzten Ungleichung?

Antworten (3)

Beweisen Sie etwas Ähnliches wie eine Variante der Cauchy-Shwarz-Ungleichung

Kannst du nicht einfach tauschen $b_1$ von $-b_1$ in Ihrer manipulierten Version und verwenden Sie dann Induktion?
wenn du dich änderst $b_1$ von $-z_1$ in manipulierter Version wird es nicht reichen? Was bedeuten drei Punkte links von der letzten Ungleichung?

Michael Burr · Answer 1

Hinweis:

Ersetzen $b_i$ von $-b_i$ man kann sich verwandeln

\sqrt{(A_{1} - B_{1})^{2} + \dots + (A_{N} - B_{N})^{2}} \leq \sqrt{A_{1}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{B_{1}^{2} + \dots + B_{N}^{2}}

$\sqrt{(a_1-b_1)^2+\cdots+(a_n-b_n)^2}\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}$ hinein

\sqrt{(A_{1} + B_{1})^{2} + \dots + (A_{N} + B_{N})^{2}} \leq \sqrt{A_{1}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{B_{1}^{2} + \dots + B_{N}^{2}}

$\sqrt{(a_1+b_1)^2+\cdots+(a_n+b_n)^2}\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}$

Dann,

\begin{aligned} \sqrt{(A_{1} + B_{1} + C_{1})^{2} + \dots + (A_{N} + B_{N} + C_{N})^{2}} & = \sqrt{(A_{1} + (B_{1} + C_{1}))^{2} + \dots + (A_{N} + (B_{N} + C_{N}))^{2}} \\ \leq \sqrt{A_{1}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{(B_{1} + C_{1})^{2} + \dots + (B_{N} + C_{N})^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{(a_1+b_1+c_1)^2+\cdots+(a_n+b_n+c_n)^2}&=\sqrt{(a_1+(b_1+c_1))^2+\cdots+(a_n+(b_n+c_n))^2}\\ &\leq\sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{(b_1+c_1)^2+\cdots+(b_n+c_n)^2}. \end{align*}$ Wenn wir das Ergebnis erneut auf das zweite Radikal anwenden, erhalten wir

\begin{aligned} \sqrt{A_{1}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} & + \sqrt{(B_{1} + C_{1})^{2} + \dots + (B_{N} + C_{N})^{2}} \\ \leq \sqrt{A_{1}^{2} + \dots + A_{N}^{2}} + \sqrt{B_{1}^{2} + \dots + B_{N}^{2}} + \sqrt{C_{1}^{2} + \dots + C_{N}^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}&+\sqrt{(b_1+c_1)^2+\cdots+(b_n+c_n)^2}\\ &\leq \sqrt{a_1^2+\cdots+a_n^2}+\sqrt{b_1^2+\cdots+b_n^2}+\sqrt{c_1^2+\cdots+c_n^2}. \end{align*}$ Verwenden Sie nun Induktion, um den Beweis zu vervollständigen.

Michael Rosenberg · Answer 2

Lassen $\vec{a}(a_1,a_2,...,a_n)$ , $\vec{b}(b_1,b_2,...,b_n)$ ,..., $\vec{z}(z_1,z_2,...,z_n)$ .

Somit, $|\vec{a}|+|\vec{b}|+...+|\vec{z}|\geq|\vec{a}+\vec{b}+...+\vec{z}|$ und wir sind fertig

denn in unserem Fall bekamen wir $|\vec{a}|+|\vec{b}|\geq|\vec{a}+\vec{b}|$ .

Josefina Alvarez · Answer 3

Eine geometrische Interpretation wäre die folgende:

Betrachten Sie eine $m$ -dimensionale Box und unterteilen Sie sie in $n\times n\times\dots\times n$ Netz. Dann ist seine Diagonallänge höchstens die Summe der Diagonalen in einer "diagonalen Kette" von Kästchen des Rasters.

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Guter Mann

Michael Burr

Markoff Chainz

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Michael Burr

Michael Rosenberg

Josefina Alvarez

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∣∣∫10ddtu(tx)dt∣∣≤∫10∑Ni=1|xi|∣∣∂u(tx)∂xi∣∣dt|∫01ddtu(tx)dt|≤∫01∑i=1N|xi| |∂u(tx)∂xi|dt\left|\int_0^1\frac d{dt}u(tx)\,dt\right|\le\int_0^1\sum_{i=1}^N|x_i |\left|\frac{\partial u(tx)}{\partial x_i}\right|dt für u∈C1c(RN)u∈Cc1(RN)u\in C^1_c(\Bbb{R}^N )