Mittelwertsatz für Funktionen aus Rn→RnRn→Rn\mathbb R^n \to \mathbb R^n

Ich kenne die Mittelwertungleichung wo wenn F Ist C 1 und Norm von D F ist weniger als M an jedem Punkt dann | F ( X ) − F ( j ) | ≤ M | X − j | aber das ist nicht ganz so nützlich wie der Mittelwertsatz. Ich frage mich, ob es eine analoge Aussage dazu in gibt R . Wenn nein, gibt es ein Gegenbeispiel? Vor allem muss ich das beweisen | F ( X ) − F ( j ) | ≥ M | X − j | und ich weiß D F ist größer als M an jedem Punkt. Gibt es auch in dieser Richtung eine Mittelwertungleichheit? Ich habe versucht, den Beweis des Originals zu modifizieren, aber es verwendet den Cauchy Schwarz, der in die andere Richtung nicht funktioniert.

Antworten (2)

Nein, da ist kein. Nehmen F : R ⟶ R 2 definiert von F ( X ) = ( cos ⁡ ( X ) , Sünde ⁡ ( X ) ) . Dann ( ∀ X ∈ R ) : “ F ' ( X ) “ = 1 , Aber F ( 0 ) = F ( 2 π ) = ( 1 , 0 ) und deshalb F ( 2 π ) − F ( 0 ) = 0 .

Die „reelle Form“ des Mittelwertsatzes gilt im Allgemeinen nicht für N ≥ 2 .

Gegenbeispiel: F : θ ↦ ( cos ⁡ θ , Sünde ⁡ θ ) . Du hast F ( 0 ) = F ( 2 π ) jedoch gibt es keine θ ∈ R mit F ' ( θ ) = ( 0 , 0 ) .

Zu Ihrer zweiten Frage, falls ja | F ( X ) − F ( j ) | ≥ M | X − j | für alle X , j , F im Eins-zu-eins. Daher haben Sie eine Bijektion von E auf zu F ( E ) und folgende Ungleichung gilt: | F − 1 ( X ) − F − 1 ( j ) | ≤ 1 M | X − j | .

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