Welche Matrizen bewahren die L1L1L_1-Norm für positive Einheitsnormvektoren?

Die Matrizen, die die Menge erhalten$P$von Wahrscheinlichkeitsvektoren sind diejenigen, deren Spalten Mitglieder sind$P$. Dies ist offensichtlich, da if$x \in P$,$M x$ist eine konvexe Kombination der Spalten von$M$mit Koeffizienten, die durch die Einträge von gegeben sind$x$. Jede Spalte von$M$muss drin sein$P$(nehmen$x$ein Vektor mit einem einzigen sein$1$und alles andere$0$), Und$P$ist eine konvexe Menge.

Da Sie ursprünglich danach gefragt haben$L^1$Leerzeichen Ich habe es gewagt, diesen Kommentar hinzuzufügen.

Will man das Integral in (endlich-dimensional und mit endlichem Maß) erhalten$L^1$Räume statt der Norm$\ell^p$, die Matrizen$M$die dies tun, sind allgemeiner als die stochastischen Matrizen .

Man kann diese Matrizen mit zwei Komponenten definieren, beschriftet$S$(für die stochastische Komponente) und$G$(für die verallgemeinerte Permutationsmatrixkomponente) so dass das$M= S * G$, wobei * das Hadamard-Produkt darstellt.

Der$S$Matrizen sind effektiv stochastische Matrizen, wie von Robert Israel gezeigt.

Der$G$Matrix ist durch die eindeutige Matrix gegeben, die sich aus dem äußeren Produkt ergibt$u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} := | u_{\mu} \rangle \langle \frac{1}{u_{\mu}} |$des eindeutigen Spaltenvektors$u_{\mu} :=\left(\begin{array}{c}\mu_1 \\ \mu_2 \\ \ldots \\ \mu_2\end{array}\right)$und der ebenfalls eindeutige Zeilenvektor$\frac{1}{u_{\mu}} :=\left(\frac{1}{\mu_1} \ \frac{1}{\mu_2} \ \ldots \ \frac{1}{\mu_n}\right)$:

$G:=u_{\mu} \otimes \frac{1}{u_{\mu}} = \left(\begin{array}{cccc} 1 & \frac{\mu_2}{\mu_1} & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_1} \\ \frac{\mu_1}{\mu_2} & 1 & \ldots & \frac{\mu_n}{\mu_2} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ \frac{\mu_1}{\mu_n} & \frac{\mu_2}{\mu_n} & \ldots & 1 \end{array}\right)$

Wo$\mu_i$ sind die Maße der erzeugenden Familie von Teilmengen $\{ A_i \}$der zugrunde liegenden Sigma-Algebra, dh $\mu_i := \mu(A_i)$Und$n = |\{ A_i \}|$.

Um Ihnen ein Beispiel zu geben, wo die stochastische Komponente$S$fehlt, nehmen Sie die stochastische Matrix$S$einfach eine Permutationsmatrix sein. In diesem Fall Ihre$M$das das Integral bewahrt, ist eine verallgemeinerte Permutationsmatrix, deren Nicht-Null-Elemente die Form haben$A_{i,j} =\frac{\mu_{j}}{\mu_i}$.

Um zu sehen, warum die Messwerte$\mu_i$werden in der Definition von benötigt$M$erinnern, dass a$L^p$Raum ist bei gegebenem Maßraum definiert$(X,\Sigma,\mu)$. Also wenn die$L^1$Raum ist endlichdimensional dann die Vektoren$v$In$L^1$sind einfache Funktionen , deren Integral als Produkt definiert ist$\langle u_{\mu}|v\rangle$. Und wenn das Maß endlich ist , dann ist dieses Integral immer wohldefiniert.

Ich hoffe, ich habe mich klar ausgedrückt.