Lineare Transformation und ihre Matrix bezüglich unbekannter Basen

Question

Lineare Transformation und ihre Matrix bezüglich unbekannter Basen

Matrizen
Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
lineare Transformationen

Hendra

Ich erhalte eine lineare Transformation

T : R^{3} \to R^{2}

$T:\mathbb{R^3} \rightarrow \mathbb{R^2}$

T ((X, j, z)) = (X + j, - j + z)

$T((x,y,z)) = (x+y,-y+z)$ Die Aufgabe, eine Basis zu finden in

R^{3}

$\mathbb{R^3}$ , nennen wir es

B = {e_{1}, e_{2}, e_{3}}

$B=\{e_1, e_2, e_3\}$ Und

R^{2}

$\mathbb{R^2}$ , nennen wir es

B^{'} = {f_{1}, f_{2}}

$B'=\{f_1, f_2\}$ so dass

A

$A$ ist die Matrix dieser Transformation in Bezug auf die gefundenen Basen.

Hier ist die Matrix $A$ :

A = [\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} 1&0&0\\0&2&0\end{bmatrix}$

Ich glaube, ich bin mir nicht sicher, wie ich die gegebene Matrix interpretieren soll $A$ .

AnyAD

Haben Sie Ihre Notizen überprüft, um zu sehen, wie eine lineare Transfirmation durch eine Matrix dargestellt wird (in Bezug auf einige Basen)?

Hendra

Ich habe. Und ich verstehe, wie es funktioniert, wenn wir eine Matrix haben

n \times n

$n \times n$ . Ich habe jedoch einige Probleme, wie man Matrizen interpretiert

m \times n

$m \times n$ . @Beliebig

Antworten (2)

Lineare Transformation und ihre Matrix bezüglich unbekannter Basen

Haben Sie Ihre Notizen überprüft, um zu sehen, wie eine lineare Transfirmation durch eine Matrix dargestellt wird (in Bezug auf einige Basen)?
Ich habe. Und ich verstehe, wie es funktioniert, wenn wir eine Matrix haben $n \times n$ . Ich habe jedoch einige Probleme, wie man Matrizen interpretiert $m \times n$ . @Beliebig

Ei · Answer 1

Gemäß der Definition der zugehörigen Matrix in Bezug auf gegebene Basen müssen Sie finden $\{e_1,e_2,e_3\}$ Und $\{f_1,f_2\}$ so dass

\begin{aligned} T (e_{1}) & = F_{1} \\ T (e_{2}) & = 2 F_{2} \\ T (e_{3}) & = 0 \end{aligned}

$\begin{align} T(e_1)&=f_1\\ T(e_2)&=2f_2\\ T(e_3)&=0 \end{align}$ Beachten Sie, dass das Problem unbestimmt ist: Sie können mit dieser Eigenschaft unendlich viele Basen finden.

Finden Sie zuerst eine Basis für den Kernel von $T$ und du wirst haben $e_3$ . Dann vervollständigen Sie es zu einer Grundlage für $\mathbb{R}^3$ und definieren $\{f_1,f_2\}$ gemäß der Spezifikation.

Die Lösungen können also so aussehen: $Ker(T) = \{e_3: T(e_3) = 0\}$ also zum beispiel $e_3 = (-1, 1, 1)$ . Jetzt kann ich finden $e_1, e_2: T(e_1) = (1, 1) \wedge T(e_2) = (0, 2)$ . Somit haben wir: $e_1=(0, 1, 2), T(e_1) = (1, 1)$ Und $e_2 = (-1, 1, 3), T(e_2) = (0, 2)$ . Das gibt uns: $f_1 = (1, 1) \wedge f_2 = (0, 1)$ . Natürlich gibt es unendlich viele verschiedene Möglichkeiten. Ist das richtig gemacht?

Rechnung · Answer 2

Sie finden die Transformationsmatrix nach Standardbasis von $\mathbb R^3$ Und $\mathbb R^2$ Standardbasis genannt. $\{ e_1,e_2,e_3\}$ für $\mathbb R^3$ Und $\{ e_1,e_2\}$ für $\mathbb R^2$ . Jetzt

$T(e_1)=T(1,0,0)=(1,0)=e_1$

$T(e_2)=T(0,1,0)=(1,-1)=e_1-e_2$

$T(e_3)=T(0,0,1)=(0,1)=e_2$

jetzt ist die Transformationsmatrix in Bezug auf die Standardbasis:

A = [\begin{matrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 \end{matrix}]

$A = \begin{bmatrix} 1&1&0\\0&-1&1\end{bmatrix}$

Jetzt könnten Sie leicht die Grundlage für Ihre Frage finden

$T(e_1)=f_1$

$T(e_2)=2f_2$

$T(e_3)=0$

Außerdem wird die Nichtigkeit von T aufgespannt $e_3$ .

Lineare Transformation und ihre Matrix bezüglich unbekannter Basen

Hendra

AnyAD

Hendra

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Ei

Hendra

Ei

Rechnung

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