Die Matrixeinträge hängen von den Basen der Domäne und des Bereichs ab?

Question

Die Matrixeinträge hängen von den Basen der Domäne und des Bereichs ab?

Matrizen
Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
Basiswechsel

user499180

Betrachten Sie die Grundlage $B=\{v_1,\dots,v_n\}$ von $\Bbb R^n$ , und schreibe $S=\{e_1,\dots,e_n\}$ die Standardbasis bedeuten.

Dann bedeutet dies (unter anderem) dass $v_i\in \Bbb R^n$ , und daher kann ich jedes schreiben $v_i$ in der Standardbasis als:

v_{ich} = \sum_{J = 1}^{N} A_{J ich} e_{J},

$v_i=\sum_{j=1}^n a_{ji}e_j,$ Dann nehme ich an, dass ich sage, dass ich eine Änderung der Basismatrix habe:

(A_{ich J})_{ich J}

$(a_{ij})_{ij}$ wo in der Tat (und ähnlich für die anderen

v_{i}

$v_i$ in Basis geschrieben

B

$B$ ),

[\begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \dots & A_{1 N} \\ ⋱ \\ ⋱ \\ A_{N 1} & A_{N 2} & \dots & A_{N N} \end{matrix}] {[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]}_{B} = {[\begin{matrix} A_{11} \\ A_{21} \\ ⋮ \\ A_{N 1} \end{matrix}]}_{S}

$\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\dots&a_{1n}\\&\ddots\\&&\ddots\\a_{n1}&a_{n2}&\dots&a_{nn}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots\\0\end{bmatrix}_{B}=\begin{bmatrix}a_{11}\\a_{21}\\\vdots\\a_{n1}\end{bmatrix}_{S}$ wobei ich einen Index verwendet habe, um die Basis zu bezeichnen, in Bezug auf die dieser Vektor geschrieben ist.

Ich nehme an, die Matrixeinträge sind abhängig von den Vektoren in der Domäne und im Bild. Bezeichnet man die Matrix typischerweise so, dass die Basis der Quelle und des Ziels kodiert wird?

Ich nehme an, ich frage nach dieser Matrix $A=(a_{ij})_{ij}:\Bbb R^n\to \Bbb R^n$ ein Isomorphismus sein, und das sage ich $A:V\to W$ Wo $V$ wird frei generiert von $\{v_1,\dots,v_n\}$ Und $W$ wird frei generiert von $\{e_1,\dots,e_n\}$ .

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Gibbs · Answer 1

Es gibt einen Unterschied zwischen "Matrix" und "linearem Operator zwischen endlichdimensionalen Vektorräumen".

Eine Matrix ist nur eine formale Tabelle mit Zahlen, Funktionen, Buchstaben, was auch immer.

Ein linearer Operator zwischen zwei endlichdimensionalen reellen Vektorräumen ist eine lineare Abbildung dazwischen $V$ Und $W$ , Wo $V$ Und $W$ sind Vektorräume mit $\dim V = n$ Und $\dim W = m$ (und so $V \cong \mathbb{R}^n$ Und $W \cong \mathbb{R}^m$ ). Als linearer Operator $f: V \rightarrow W$ wird vollständig durch das Bild der Vektoren einer Basis bestimmt, um die Wirkung von zu finden $f$ es genügt, eine Basis zu nehmen $\{e_1,\dots,e_n\}$ von $V$ und berechnen $f(e_1),\dots,f(e_n)$ . Dies sind Vektoren in $W$ , kann also in Bezug auf eine Basis von ausgedrückt werden $W$ , sagen $\{l_1,\dots,l_m\}$ , das ist

F (e_{ich}) = \sum_{k = 1}^{M} A_{ich}^{k} l_{k}

$f(e_i) = \sum_{k=1}^m a_i^kl_k$ Wo

a_{i}^{k}, i = 1, \dots, n, k = 1, \dots, m

$a_i^k, i = 1,\dots,n, k = 1,\dots,m$ sind reelle Zahlen. Diese definieren eine Matrix

(a_{k}^{i})

$(a^i_k)$ , die die zugeordnete Matrix ist

f

$f$ . Dabei hängen die Einträge der Matrix natürlich von den gewählten Basen ab.

Hektor Blandin · Answer 2

Die Spalten Ihrer Matrix $A=(a_{ij})$ sind genau die Koordinaten jeder neuen Basis $B$ Vektor bzgl. der Standardbasis $\{e_1,\ldots,e_n\}$ . Für jede $j$ die Kolumne $j$ von $A$ gibt Ihnen die geordneten Koordinaten des neuen Basisvektors $v_{j}\in B$ in Bezug auf die kanonische Basis $S=\{e_1,\ldots,e_n\}$ . In Gleichungen:

[v_{ich}]_{S} = [\begin{matrix} A_{1 J} \\ A_{2 J} \\ ⋮ \\ A_{N J} \end{matrix}] = A [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$[v_i]_{S}=\left[\begin{array}{c} a_{1j}\\ a_{2j}\\ \vdots \\ a_{nj}\end{array}\right]= A\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\\vdots \\ 0\end{array}\right]$ Wo

e_{j} = [\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ ⋮ \\ 1 \\ ⋮ \\ 0 \end{matrix}]

$e_{j}=\left[\begin{array}{c} 0\\ 0\\ \vdots\\ 1\\\vdots \\ 0\end{array}\right]$ hat

1

$1$ an Stelle

j

$j$ Und

0

$0$ anderswo.

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user499180

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Gibbs

Hektor Blandin

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