Matrix der linearen Transformation in einer anderen Basis finden

Lassen$\mathbf{x} = (x_{1}, x_{2}, x_{3})^T$seien die Koordinaten eines Punktes in der$e$-Basis und lassen$\mathbf{y} = (y_{1}, y_{2}, y_{3})^T$seien die Koordinaten desselben Punktes in der$f$-Basis.

Es ist derselbe Punkt, also benötigen wir die folgende Bedingung.

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{f}_{1} + y_{2} \mathbf{f}_{2} + y_{3} \mathbf{f}_{3}$$

Die Frage gibt die Schreibweise an$f$-Basisvektoren in Bezug auf die$e$-Basisvektoren:

$$\begin{aligned} \mathbf{f}_1 &= \mathbf{e}_1 + \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_2 &= \mathbf{e}_2 \\ \mathbf{f}_3 &= \mathbf{e}_1 - \mathbf{e}_3 \end{aligned}$$

Wir können diese Formeln in die Gleichung für die obigen Koordinaten einsetzen

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} (\mathbf{e}_{1} + \mathbf{e}_{2}) + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} (\mathbf{e}_{1} - \mathbf{e}_{3})$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = y_{1} \mathbf{e}_{1} + y_{1} \mathbf{e}_{2} + y_{2} \mathbf{e}_{2} + y_{3} \mathbf{e}_{1} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

$$x_{1} \mathbf{e}_{1} + x_{2} \mathbf{e}_{2} + x_{3} \mathbf{e}_{3} = (y_{1} + y_{3}) \mathbf{e}_{1} + (y_{1} + y_{2} ) \mathbf{e}_{2} - y_{3} \mathbf{e}_{3}$$

Jetzt$\mathbf{e}_1$,$\mathbf{e}_2$Und$\mathbf{e}_3$sind drei linear unabhängige Vektoren, so dass die Komponenten jedes Vektors auf beiden Seiten des Obigen gleichgesetzt werden können. Dh wir können schreiben:

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 + y_3 \\ x_2 & = y_1 + y_2 \\ x_3 &= -y_3 \end{aligned}$$

Das Folgende ist genau dasselbe wie das obige mit leicht unterschiedlichen Abständen

$$\begin{aligned} x_1 &= y_1 & &+y_3 \\ x_2 & = y_1 &+ y_2 & \\ x_3 &= & &-y_3 \end{aligned}$$

Wenn wir die Gleichungen schreiben, die die Koordinaten auf diese Weise in Beziehung setzen, können wir sehen, wie die Menge als eine einzelne Matrixgleichung geschrieben werden kann:

$$\begin{pmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \\ y_{3} \end{pmatrix} \Rightarrow \mathbf{x} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \mathbf{y}$$

Dies zeigt, wie wir eine Matrix verwenden können, um Koordinaten in umzuwandeln$f$-Basis zu Koordinaten in der$e$-Basis, dh$\mathbf{x} = T \mathbf{y}$, dh es stellt die Matrix dar$T$in der Formel

$$A' = T^{-1} A T$$

Wo$A$ist die Transformation, die auf Koordinaten in angewendet wird$e$-Basis. Die obige Formel wird angewendet

Gefunden$T$, können wir seine Umkehrung finden (von Hand oder mit einer Software):

$$T^{-1} = \begin{pmatrix} 1& -1& 0 \\ 0& 1& 0 \\ 1& -1& -1 \end{pmatrix}$$

und schließlich können wir rechnen$A'$

$$A' = \begin{pmatrix} -3& -2& -2 \\ 3& 3& -1 \\ -7& -1& -6 \end{pmatrix}$$ Dies ist die Matrix der Transformation, die auf Koordinaten in angewendet wird $f$-Basis.

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Dieser nächste Teil geht darauf ein, wie die Formel abgeleitet wird, die die beiden Transformationsmatrizen in den verschiedenen Basen in Beziehung setzt.

Wenn wir schreiben$\mathbf{u}$für das Bewerbungsergebnis$A$zum$e$-Basisvektor$\mathbf{x}$und wenn wir schreiben$\mathbf{v}$für das Bewerbungsergebnis$A'$zum$f$-Basisvektor$\mathbf{y}$.

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= A \mathbf{x} \\ \mathbf{v} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$

Die Vektoren$\mathbf{x}$Und$\mathbf{y}$entsprechen dem gleichen Punkt in den zwei verschiedenen Basen, ebenso wie das Paar von Vektoren$\mathbf{u}$Und$\mathbf{v}$. Mit anderen Worten können sie geschrieben werden:

$$\begin{aligned} \mathbf{x} &= T \mathbf{y} \\ \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ \end{aligned}$$

Damit können wir folgendes schreiben

$$\begin{aligned} \mathbf{u} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T \mathbf{v} \\ A \mathbf{x} &= T A' \mathbf{y} \\ A T\mathbf{y} &= T A' \mathbf{y} \\ T^{-1} A T\mathbf{y} &= A' \mathbf{y} \\ \end{aligned}$$ Da dies für alle funktioniert $\mathbf{y}$können wir schließen, dass $T^{-1} A T = A'$.

$T$ist die Matrix, deren Spalten sind$f_1, f_2, f_3$. Das ist:

$$T=\begin{pmatrix}2&-1&-3\\6&0&-1\\-2&5&4 \end{pmatrix}$$

Sie müssen nur die Umkehrung berechnen und Ihre Formel anwenden.