Wie können Sie beweisen, dass eine Matrix die gleichen Eigenwerte wie ihre Transponierte hat, ohne Determinanten zu verwenden?

Die Eigenwerte von$M$sind die Zahlen$\lambda$so dass$M - \lambda I$hat nicht-trivialen Kernel, dh die Zahlen, für die die quadratische Matrix$M-\lambda I$kann nicht invertiert werden. Aber

und wenn also$M - \lambda I$ist nicht umkehrbar,$(M-\lambda I)^T$ist auch nicht invertierbar, da eine quadratische Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Transponierte es ist (danke an Marc für die Vorschläge!). Aber das Obige zeigt das$\lambda$ist auch ein Eigenwert für$M^T$, wie wir zeigen wollten.

Die Eigenwerte einer quadratischen Matrix$A$sind die Nullstellen seines Minimalpolynoms. Da für jedes Polynom$P\in K[X]$die Matrix$P[A^\top]$ist die Transponierte von$P[A]$, und eine davon ist genau dann Null, wenn die andere ist, die Matrizen$A$und seine Transponierung$A^\top$dieselben Minimalpolynome haben. Daher haben sie die gleichen Eigenwerte.

Oder noch einfacher,$\lambda$ist ein Eigenwert von$A$dann und nur dann, wenn$A-\lambda I$nicht invertierbar ist, was genau dann passiert, wenn es transponiert$A^\top-\lambda I$nicht umkehrbar ist (denn offensichtlich, wenn eine quadratische Matrix$M$eine Umkehrung hat, ist die Transponierte dieser Umkehrung eine Umkehrung von$M^\top$, und umgekehrt).