Matrix einer linearen Transformation auf Basis

Gegeben sei eine lineare Transformation auf$\mathbb{R^3}$folgendermaßen:

$$\phi(x)=(x,a)a$$ Wo$(x,a)$steht für das Skalarprodukt der Vektoren$x$Und$a$,Und$a=(1,2,3)$. Finden Sie die Matrix dieser Transformation auf der Basis$e_1=(1,0,0),e_2=(0,1,0),e_3=(0,0,1)$, auf der alle obigen Vektoren angegeben sind, und finden Sie auch die Matrix auf der Basis$b_1=(1,0,1),b_2=(2,0,-1),b_3=(1,1,0)$.

Anhand der Matrix habe ich bereits gefunden$e_1,e_2,e_3$:

$$A=\begin{bmatrix} 1 &2 &3 \\ 2 &4 & 6 \\ 3 & 6 & 9 \end{bmatrix}$$ Auch die Matrix, die die erste Basis auf die zweite abbildet: $$C=\begin{bmatrix} 1 &2 &1 \\ 0 &0 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \end{bmatrix}$$ Auf der neuen Basis$a=(\cfrac{5}{3},-\cfrac{4}{3},2)$. Ich habe einige Versuche unternommen, um die Matrix zu finden$B$(die zweite in der Frage gestellte Matrix), aber keine stimmt mit der Antwort des Buches überein, während$A$scheint richtig zu sein.

Die Antwort ist

$$B=\begin{bmatrix} 20/3 &-5/3 &5 \\ -16/3 &4/3 & -4 \\ 8 & -2 & 6 \end{bmatrix}$$ Jede Hilfe ist willkommen.