Wie zeigt man, dass eine Hilbert-Matrix invertierbar ist?

Definieren$\langle.,,\rangle$An$\mathbb{P}_n$als

$$\langle p(x), q(x)\rangle = \int_0^1 p(x)q(x)dx.$$

Das lässt sich leicht überprüfen$\langle.,,\rangle$ist ein inneres Produkt.

Beachte das

$$H_n=\begin{bmatrix} \langle 1,1\rangle&\langle 1,x\rangle&\langle 1,x^2\rangle&\cdots&\langle 1,x^n\rangle\\ \langle x,1\rangle&\langle x,x\rangle&\langle x,x^2\rangle&\cdots&\langle x,x^n\rangle\\ \cdots&\cdots&\cdots&\cdots&\cdots\\ \langle x^n,1\rangle&\langle x^n,x\rangle&\langle x^n,x^2\rangle&\cdots&\langle x^n,x^n\rangle\\ \end{bmatrix}$$

ist die Gram-Matrix von$1,x,x^2,\dots,x^n$mit$\langle.,,\rangle$. Nun ist die Determinante einer Gram-Matrix genau dann ungleich Null, wenn die Vektoren, deren innere Produkte bei ihrer Konstruktion verwendet werden, linear unabhängig sind. Jedoch,$1,x,x^2,\dots,x^n$ist eine Grundlage von$\mathbb{P}_n$und damit linear unabhängig. Deshalb,$\det H_n\ne 0$und so schließen wir das$H_n$ist invertierbar.

Es genügt zu zeigen, dass die Gleichung$H_nx = 0$hat die eindeutige Lösung$x = 0$(dh dass seine Spalten linear unabhängig sind). Also stell dir das vor$x = (x_1,\dots,x_{n}, x_{n+1})$ist so eine Lösung. Es folgt dem$x^T(H_n x) = 0$, das soll heißen

$$\begin{align} 0 & = x^TH_n x = \sum_{i,j = 1}^{n+1} H_n[i,j] x_i x_j \\ & = \sum_{i,j = 1}^{n+1} x_i x_j \int_0^1 t^{i-1} t^{j-1}\, dt \\ & = \int_0^1 \sum_{i,j = 1}^{n+1} x_ix_j \,t^{i-1}t^{j-1}\,dt = \int_0^1 (x_1 + x_2 t + \cdots + x_{n+1} t^{n})^2\,dt. \end{align}$$ Dieses Integral kann nur dann Null sein, wenn$x_1 + x_2 t + \cdots + x_n t^{n-1}$ist die Nullfunktion vorbei$[0,1]$(im Allgemeinen ist das Integral einer kontinuierlichen nicht negativen Funktion über ein Intervall Null, wenn diese Funktion identisch Null ist). Dies geschieht jedoch nur, wenn$x_1 = \cdots = x_n = 0$, das soll heißen$x = 0$, was wir zeigen wollten.