Verwendung der Diagonalisierung einer symmetrischen auf quadratischen Form

Lassen$f (x, y) = 7x_2 + 4y_2 + 4xy$. Verwenden Sie die Diagonalisierung einer symmetrischen Matrix, um diese quadratische Form in die Form zu schreiben$λ_1u_2^2 +λ_2v_2^2$, mit u und v Linearkombinationen von x und y.

Hier ist, was ich versucht habe:

Schritt 1. Holen Sie sich die symmetrische Matrix

$$f (x, y) = 7x_2 + 4y_2 + 4xy=\left(\begin{matrix}7&2\\2&4\\\end{matrix}\right)$$

Schritt 2. Finden Sie die Eigenwerte

$$det(A-\lambda I) \\ \left(\begin{matrix}7-\lambda&2\\2&4-\lambda\\\end{matrix}\right)=(7-\lambda)(4-\lambda)-4=(\lambda-3)(\lambda-8)$$

Schritt 3. Finden Sie die Eigenvektoren

Fall für$\lambda =3$

$$\left(\begin{matrix}7-3&2\\2&4-3\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4&2\\2&1\\\end{matrix}\right)$$

Reihe reduziert

$$\left(\begin{matrix}4&2\\2&1\\\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1&\frac{1}{2}\\0&0\\\end{matrix}\right) \implies \left(\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right)=y_1\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\\end{matrix}\right)$$

Das Gleiche tun für$\lambda =8$(ich überspringe die Berechnung), verstehe ich$\left(\begin{matrix}x\\y\\\end{matrix}\right)=y_2\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right)$

Finden der orthogonalen Eigenvektoren

$$u_1 = \frac{y_1}{||y_1||} = \frac{2}{\sqrt{5}}\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\\1\\\end{matrix}\right) \\ u_2 = \frac{y_1}{||y_1||} = \frac{1}{\sqrt{5}}\left(\begin{matrix}2\\1\\\end{matrix}\right) \\ P=(u_1,u_2)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right) \\ D = P^TAP = \left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7&2\\2&4\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{2}{\sqrt{5}}\\\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{1}{\sqrt{5}}\\\end{matrix}\right) = \left(\begin{matrix}3&0\\0&8\\\end{matrix}\right) \\ x^TAx = \lambda^TD\lambda = \left(\begin{matrix}\lambda_1&\lambda_2\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}3&0\\0&8\\\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\lambda_1\\\lambda_2\\\end{matrix}\right) = 3\lambda_1^2+8\lambda_2^2$$

Mein Ergebnis sieht jedoch nicht so aus, als hätte es die gleiche Form wie die Frage:

$λ_1u_2^2 +λ_2v_2^2 \ne 3\lambda_1^2+8\lambda_2^2$, wie gehe ich hier vor?