Ax=bAx=bAx=b hat eine Lösung über FpFp\Bbb{F}_p für jede Primzahl p ⟹p ⟹p~\impliziert Existenz einer reellen Lösung??

QED

$A$ Bohne $m\times n$ Matrix und $b$ A $m\times1$ Vektor, beide mit ganzzahligen Einträgen. Wenn $Ax=b$ hat eine Lösung über $\Bbb{F}_p$ für jede Primzahl $p$ , ist eine echte Lösung garantiert?

Ich konnte mir keinen einfachen Weg vorstellen, um dieses Problem zu beginnen. Irgendein Hinweis bitte.

Bonusfrage: Eine Matrix, bei der alle diagonalen Elemente ungerade ganze Zahlen und alle nicht diagonalen Elemente gerade ganze Zahlen sind, ist die Identitätsmatrix in $\Bbb{F}_2$ . Bedeutet das, dass es als reelle Matrix invertierbar ist?

Angina Seng

Sind alle Einträge ganze Zahlen?

QED

Ja ... Alle ganzzahligen Einträge

Antworten (2)

Jyrki Lahtonen

Das ist wahr. Es wird eine rationale Lösung geben.

Lassen $V\subseteq \Bbb{Q}^m$ sei der Spaltenraum von $A$ . Wenn es keine Lösung gibt $x\in\Bbb{Q}^n$ dies bedeutet, dass der Spaltenraum der erweiterten Matrix $A'=(A|b)$ hat eine höhere Dimension als $r=\dim_{\Bbb{Q}}V$ . Mit anderen Worten, $A'$ Rang hat $r+1$ während $A$ Rang hat $r$ nur.

Dies bedeutet, dass die ganze Größe $r+1$ Minderjährige von $A$ verschwinden, aber es gibt mindestens einen nicht verschwindenden Minor $\Delta$ von $A'$ von gleicher Größe. Lassen $p$ eine Primzahl sein, die kein Faktor von ist $\Delta$ . Wenn $\overline{A}$ Und $\overline{A'}$ sind die obigen Matrizen modulo reduziert $p$ wir sehen das $\overline{A'}$ hat einen nicht verschwindenden Minor $\overline{\Delta}$ von Größe $r+1$ während alle $(r+1)\times (r+1)$ Minderjährige von $A$ gleich Null sind. Dies impliziert das $\overline{b}$ ist nicht in der $\Bbb{F}_p$ -Spannweite der Spalten von $\overline{A}$ . Daher wird das System keine Modulo-Lösung haben $p$ entweder.

Jyrki Lahtonen

Ich denke, dass es ausreicht, davon auszugehen, dass ein Lösungsmod

p

$p$ existiert für unendlich viele Primzahlen

p

$p$ .

Gerry Myerson

Für die Bonusfrage impliziert die Bedingung, dass die Determinante ungerade ist, also nicht Null, daher ist die Matrix über den reellen Zahlen (tatsächlich über den rationalen Zahlen) umkehrbar.

QED

Ich habe eigentlich gefragt, ob Nicht-Singularität in

F_{p}

$F_p$ garantiert Nicht-Singularität in

R

$\Bbb{R}$

Jyrki Lahtonen

@AbishankaSaha Es ist vielleicht besser, darüber nachzudenken

Q

$\Bbb{Q}$ anstatt

R

$\Bbb{R}$ . Wenn alle Matrixeinträge ganze Zahlen sind, dann sind es auch die Determinanten, und Sie können sie mod reduzieren

p

$p$ . Jede Matrix über rationalen Zahlen wird zu einer ganzzahligen Matrix, wenn Sie sie mit dem lcm der Nenner multiplizieren. Über

R

$\Bbb{R}$ diese Schritte sind nicht verfügbar. Natürlich wird die Invertierbarkeit einer Matrix über jedem Feld durch Betrachten ihrer Determinante entschieden, also reell vs. rational - kein Unterschied!

Gerry Myerson

Nein, Abishanka, was Sie in Ihrer "Bonusfrage" tatsächlich gefragt haben, war, ob eine ganzzahlige Matrix, kongruent Modulo 2 zur Identität, über die reellen Zahlen umkehrbar ist, und das ist die Frage, die Sie tatsächlich gestellt haben und die ich tatsächlich beantwortet habe.

Ax=bAx=bAx=b hat eine Lösung über FpFp\Bbb{F}_p für jede Primzahl p ⟹p ⟹p~\impliziert Existenz einer reellen Lösung??

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