Vektoren gleichzeitig orthogonal in zwei verschiedenen bilinearen Formen mit diagonalen Matrizen

Ich interessiere mich für die orthogonale Ähnlichkeitstransformation von Diagonalmatrizen, siehe auch meine vorherigen Fragen Eigenschaften der orthogonalen Ähnlichkeitstransformation und orthogonale Ähnlichkeitstransformation einer Diagonalmatrix durch eine Permutationsmatrix: Rückwärtsrichtung . Annehmen, dass$\mathbf{D}$ist eine Diagonalmatrix mit positiven und paarweise verschiedenen Elementen$d_1 > \ldots > d_n > 0$Und$\mathbf{Q}$eine orthogonale Matrix. Wenn die orthogonale Ähnlichkeitstransformation$\mathbf{Q}^T \mathbf{D} \mathbf{Q}$eine Diagonalmatrix ist, haben wir Ausdrücke

$$\mathbf{q}_i^T \mathbf{D} \mathbf{q}_j = 0$$ für die außerdiagonalen Elemente ($i \neq j$). Gleichzeitig haben wir $$\mathbf{q}_i^T \mathbf{q}_j = \mathbf{q}_i^T \mathbf{I} \mathbf{q}_j = 0$$ für diese Elemente und$\|\mathbf{q}_i\| = 1$.

Meine Vermutung ist, dass Einheitsvektoren$\mathbf{q}_i$Und$\mathbf{q}_j$können in beiden bilinearen Formen nur orthogonal sein (dh beide obigen Ausdrücke sind Null), wenn sie ein Element haben$\pm 1$.

Hat jemand ein Gegenbeispiel oder eine Idee für einen Beweis? Kann der Nachweis einzelne Elemente ansprechen$(i,j)$oder müssten wir alle berücksichtigen$(i,j)$? Würde die mutmaßliche Eigenschaft bei unterschiedlichen Annahmen verloren gehen$\mathbf{D}$, dh wenn einige Elemente von$\mathbf{D}$identisch sind oder einige negativ sind?

Für Ideen bin ich dankbar.

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Ich kam ein bisschen voran, blieb aber an einem späteren Punkt hängen.

$\newcommand{\matQ}{\mathbf{Q}} \newcommand{\matD}{\mathbf{D}} \newcommand{\matC}{\mathbf{C}} \newcommand{\vecz}{\mathbf{z}} \newcommand{\vecq}{\mathbf{q}} \newcommand{\vecp}{\mathbf{p}} \newcommand{\pmat}[1]{\begin{pmatrix}#1\end{pmatrix}} \newcommand{\vecnull}{\mathbf{0}}$

Im Folgenden gebe ich die Sortierannahme der Diagonalelemente auf.

Wir betrachten zunächst das Gleichungssystem für zwei Spalten$\vecq$Und$\vecp$von$\matQ$:

$$\begin{eqnarray} \vecq^T \matD \vecp &=& 0\\ \vecq^T \vecp &=& 0. \end{eqnarray}$$

Wir können dieses System in ein homogenes lineares System umwandeln

$$\begin{equation} \pmat{ d_1 & d_2 & d_3 & \ldots & d_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1} \pmat{ z_1\\ \vdots\\ z_n} = \pmat{0\\0} \end{equation}$$

Wo$z_i = q_i p_i$. Wir transformieren die Koeffizientenmatrix

$$\begin{equation} \matC = \pmat{ d_1 & d_2 & d_3 & \ldots & d_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1} \end{equation}$$

in reduzierte Zeilenstufenform: Wir normalisieren$d'_i = d_i / d_1$,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 1 & 1 & 1 & \ldots & 1}, \end{equation}$$

subtrahiere die erste Zeile von der zweiten,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 0 & 1-d'_2 & 1-d'_3 & \ldots & 1-d'_n}, \end{equation}$$

normalisiere die zweite Zeile,

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & d'_2 & d'_3 & \ldots & d'_n\\ 0 & 1 & \frac{1-d'_3}{1-d'_2} & \ldots & \frac{1-d'_n}{1-d'_2}}, \end{equation}$$

und subtrahieren Sie eine skalierte Version der zweiten Reihe von der ersten

$$\begin{equation} \pmat{ 1 & 0 & d'_3 - \frac{1-d'_3}{1-d'_2} d'_2 & \ldots & d'_n - \frac{1-d'_n}{1-d'_2} d'_2\\ 0 & 1 & \frac{1-d'_3}{1-d'_2} & \ldots & \frac{1-d'_n}{1-d'_2}}. \end{equation}$$

Wir stellen vor$i \geq 3$

$$\begin{eqnarray} a_i &:=& d'_i - \frac{1-d'_i}{1-d'_2} d'_2 = \frac{d'_i (1-d'_2) - (1-d'_i) d'_2}{1-d'_2} = \frac{d'_i - d'_2}{1-d'_2}\\ % b_i &:=& \frac{1-d'_i}{1-d'_2} \end{eqnarray}$$

und erhalten die reduzierte Zeilenstufenform

$$\begin{equation} \matC' = \pmat{ 1 & 0 & a_3 & \ldots & a_n\\ 0 & 1 & b_3 & \ldots & b_n}. \end{equation}$$

Für$d_i \neq d_j\, \forall i \neq j$wir sehen das$1-d'_i \neq 0\, \forall i \geq 2$, somit sind die Nenner definiert und$b_i \neq 0\, \forall i \geq 3$Und$a_i \neq 0\, \forall i \geq 3$.

(Dieser Absatz betrachtet Verstöße gegen die Annahme paarweise verschiedener Elemente in$\matD$. Es kann später nützlich sein. Wenn$\exists i,j\,(i\neq j): d_i = d_j$, müssen wir zwei Fälle unterscheiden. Ich falle$d_i$gleich sind, dann die$z_i$kann unter der Einschränkung beliebig gewählt werden$\sum_{i=1}^n z_i = 0$. Wenn es mindestens ein Paar Diagonalelemente gibt, die sich voneinander unterscheiden, können wir sie als wlog auswählen$d_1$Und$d_2$, daher$d_1 \neq d_2$Und$1-d'_2 \neq 0$. Außerdem wählen wir die Diagonalelemente so aus, dass$\exists i\,(i\geq 3): d_2 = d_i$. In diesem Fall haben wir$a_i = 0$. Wenn auch$\exists j\,(j\geq 3): d_1 = d_j$, wir haben auch$b_j = 0$. Der Fall$a_i = b_i = 0$Ist nicht möglich.)

Wir bestimmen nun den Nullraum von$\matC$. Aus$\matC' \vecz = \vecnull$wir erhalten

$$\begin{equation} \begin{matrix} z_1 & & + z_3 a_3 & \ldots & + z_n a_n & = 0\\ & z_2 & + z_3 b_3 & \ldots & + z_n b_n & = 0 \end{matrix} \end{equation}$$

Wo$z_3,\ldots,z_n$sind freie Parameter. Dies führt zu

$$\begin{equation} \vecz = \pmat{ -z_3 a_3 & -z_4 a_4 & \ldots & -z_n a_n\\ -z_3 b_3 & -z_4 b_4 & \ldots & -z_n b_n\\ z_3 & & & \\ & z_4 & & \\ & & \ddots & \\ & & & z_n } \end{equation}$$

(Beachten Sie, dass dies keine Matrix ist, sondern ein Vektor, der so geschrieben ist, dass jede$z_i$erscheint in einer separaten Spalte), somit wird der Nullraum von den Spalten der aufgespannt$n \times (n-2)$Matrix

$$\begin{equation} \pmat{ -a_3 & -a_4 & \ldots & -a_n\\ -b_3 & -b_4 & \ldots & -b_n\\ 1 & & & \\ & 1 & & \\ & & \ddots & \\ & & & 1 }. \end{equation}$$

Offensichtlich können wir a finden$\vecz \neq \vecnull$so dass beide Bilinearformen Null werden. Daher einzelne Vektoren$\vecq, \vecp$beide Gleichungen erfüllen, sind nicht notwendigerweise Vektoren mit einem einzigen Nicht-Null-Element an verschiedenen Positionen: Nehmen Sie das an$z_i \neq 0$, Dann$q_i \neq 0$Und$p_i \neq 0$.

Daher müssen wir natürlich die gesamte Matrix betrachten$\matQ$:

$$\begin{eqnarray} \vecq_i^T \matD \vecq_j &=& 0\quad \forall i \neq j\\ \vecq_i^T \vecq_j &=& 0 \quad \forall i \neq j. \end{eqnarray}$$

Wenn wir das nur zeigen könnten$\vecz = \vecnull$erlaubt, alle diese Gleichungen zu erfüllen, konnten wir zeigen, dass alle Vektoren$\vecq_i$kann nur genau ein Element ungleich Null haben (was sein muss$\pm 1$da die Vektoren Einheitsvektoren sind), die an unterschiedlichen Positionen erscheinen. Das Argument geht wie folgt vor: Wenn$z_k = q_{i,k} q_{j,k} = 0$für alle$k$, Dann$\vecq_i$hat null Elemente wo$\vecq_j$hat Elemente ungleich Null und umgekehrt. Nehmen Sie diesen einen Vektor an$\vecq_i$hat mehr als ein Element ungleich Null. Da die restlichen$n-1$Vektoren$\vecq_j$($j \neq i$) mindestens ein Element ungleich Null haben (da es sich um Einheitsvektoren handelt), wäre es nicht möglich, sie zu finden$n-1$andere Vektoren$\vecq_j$die ihr Nicht-Null-Element am haben$n-2$verbleibende Nullstellen von$\vecq_i$.

Irgendwelche Ideen, wie man das zeigen kann? Danke!