So finden Sie die Summe der Elemente von eMeMe^M, wobei MMM eine Matrix ist.

Die Frage ist

Wenn M = ( 1 1 0 0 1 1 0 0 1 ) Und e M = ICH + M + 1 2 ! M 2 + ⋯ . Wenn e M = [ B ich J ] was ist dann der Wert von

1 e ∑ ich = 1 3 ∑ J = 1 3 B ich J

Ich habe keine Ahnung, wie ich das lösen soll, aber ich habe versucht, die Kräfte von zu berechnen M , und Summieren der Reihe e M aber das gab mir keine klare Vorstellung. Wie kann ich das machen? Jede Hilfe ist willkommen.

wende den Satz von Cayley-Hamilton an

Antworten (3)

Hinweis. Lassen N = ( 0 1 0 0 0 1 0 0 0 ) . Dann M = ICH + N Und N 3 = 0 . Daher die Potenzreihe für e N ist eine endliche Reihe und Sie können berechnen e N leicht. Nun, mit der Tatsache, dass e A + B = e A e B für Pendlermatrizen A , B , darfst du rechnen e M = e ICH + N ausdrücklich. Die benötigte Menge 1 e ∑ ich , J B ich J ist nur die Summe aller Einträge von e M geteilt durch e .

Das kannst du per Induktion beweisen

M k = ( 1 k ( k 2 ) 0 1 k 0 0 1 )
so dass
B 11 = B 22 = B 33 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = e
B 12 = B 23 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! k = e
B 13 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! k ( k − 1 ) 2 = e / 2
dh
e M = ( e e e / 2 0 e e 0 0 e )
kannst du jetzt abschließen?

Ich denke nicht M k nimmt diese Gestalt an. Ich habe nachgerechnet M 2 und bekam ( 1 2 1 0 1 2 0 0 1 ) . Kannst du das verifizieren?
@HarryPotter Du hast Recht. Die obere rechte Ecke ist ungleich Null in M k Und e M .
die Rekursionsformel für das Eckelement ist A N = ∑ k = 1 N ( k + A k − 1 )
@HarryPotter Du hast Recht, ich habe zu schnell Berechnungen angestellt. Jetzt ist es richtig, denke ich.

Sie haben die nächste Gleichheit M k = ( 1 k ( k − 1 ) k 2 0 1 k 0 0 1 ) dann hast du das nächste ergebnis:

B 11 = B 22 = B 33 = ∑ k = 0 ∞ 1 k ! = e
B 12 = B 23 = ∑ k = 0 ∞ k k ! = e
Und
B 13 = ∑ k = 0 ∞ k ( k − 1 ) 2 k ! = e 2
Schließlich ist die gewünschte Summe:
1 e ( 3 e + 2 e + e 2 ) = 11 2

So finden Sie die Summe der Elemente von eMeMe^M, wobei MMM eine Matrix ist.
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