Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Question

Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Matrizen
Mathematik
Lineare Algebra
Eigenwerte-Eigenvektoren
Numerische-lineare-algebra

Benutzer404177

Ich muss reellwertige Matrizen mit bestimmten komplexen Eigenwerten konstruieren. Ich habe die Begleitmatrix gesehen, die meine Aufgabe erfüllt, aber es gibt auch einige andere wünschenswerte Eigenschaften, also suche ich nach einer allgemeineren Konstruktion. Wenn jemand Licht ins Dunkel bringen könnte, wäre das super.

Die Eigenwerte werden verschieden sein. Sie liegen auf dem Einheitskreis. Vorzugsweise könnte ich auch die Eigenvektoren auswählen (ich weiß, dass einige Einschränkungen gelten, aber es ist in Ordnung). Es wäre erstaunlich, wenn die Matrix so wenig Nullstellen wie möglich hätte.

Da ich also viel verlange, werde ich die allgemeinste Konstruktion zu schätzen wissen.

Ich habe diese Antwort gesehen ( https://math.stackexchange.com/q/1345699 ), aber ich frage mich, ob es eine Methode gibt, die mehr Freiheit über die Matrix bietet.

Logarithmus

Jede Matrix mit diesen Eigenwerten erhält man durch Faktorisieren des Polynoms

\prod (x - λ_{i})

$\prod(x-\lambda_i)$ , mit

λ_{i}

$\lambda_i$ die Eigenwerte zusammen mit der Multiplizität über die reellen Zahlen (nicht unbedingt in kleinsten Faktoren, nur eine Auswahl von Faktoren), das Erstellen einer blockdiagonalen Matrix mit den Begleitmatrizen jedes der Faktoren und das Vor- und Nachmultiplizieren der resultierenden Matrix mit

P^{- 1}

$P^{-1}$ Und

P

$P$ , für eine beliebige reelle Matrix

P

$P$ .

Antworten (1)

Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Jede Matrix mit diesen Eigenwerten erhält man durch Faktorisieren des Polynoms $\prod(x-\lambda_i)$ , mit $\lambda_i$ die Eigenwerte zusammen mit der Multiplizität über die reellen Zahlen (nicht unbedingt in kleinsten Faktoren, nur eine Auswahl von Faktoren), das Erstellen einer blockdiagonalen Matrix mit den Begleitmatrizen jedes der Faktoren und das Vor- und Nachmultiplizieren der resultierenden Matrix mit $P^{-1}$ Und $P$ , für eine beliebige reelle Matrix $P$ .

Ethan Bölker · Answer 1

Bauen $M$ mit $2 \times 2$ Blockmatrizen entlang der Diagonalen wie in der verknüpften Frage. Dann für jede invertierbare Matrix $A$ die Matrix $AMA^{-1}$ die gewünschten Eigenwerte haben. Sie können gestalten $A$ um die anderen Eigenschaften zu erhalten, die Ihnen wichtig sind.

Das Original $M$ wahrscheinlich derjenige mit den meisten Nullen.

Eine zufällige quadratische Matrix $A$ wird invertierbar sein (die Wahrscheinlichkeit, dass die Determinante ist $0$ Ist $0$ ) und ich bin mir ziemlich sicher $AMA^{-1}$ wird keine haben $0$ Einträge mit Wahrscheinlichkeit $1$ .

danke für die Antwort. Gibt es eine Möglichkeit, A zu wählen, um die gewünschten Eigenvektoren zu haben?
Sie können die Eigenvektoren für die Transformierten anordnen $M$ (nicht die von $A$ ). Lassen $A$ sei die Transformation, die die kanonische Basis abbildet $\mathbb{R}^n$ auf die Basis (von Eigenvektoren) Ihrer Wahl. Aber ich vermute ein Problem. Die komplexen Eigenwerte treten in komplex konjugierten Paaren auf. Die entsprechenden Eigenvektoren spannen einen zweidimensionalen reellen Unterraum auf, auf dem $M$ wirkt im Wesentlichen als Rotation. Es wird keine Eigenvektoren geben, wenn Sie in Bezug auf die Aktion in einem Vektorraum darüber nachdenken $\mathbb{R}$ . Wie Sie dies handhaben, hängt von Informationen zu Ihrer Anwendung ab, die nicht in Frage kommen.

Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Benutzer404177

Logarithmus

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Ethan Bölker

Benutzer404177

Ethan Bölker

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