Untere Grenze des kleinsten Eigenwerts einer (symmetrischen positiv-definiten) Matrix

Question

Untere Grenze des kleinsten Eigenwerts einer (symmetrischen positiv-definiten) Matrix

Matrizen
Mathematik
Lineare Algebra
positiv-definit
symmetrische Matrizen
Eigenwerte-Eigenvektoren

ampeo

Wenn $M$ eine symmetrische positiv-definitive Matrix ist, ist es möglich, eine positive Untergrenze für den kleinsten Eigenwert von zu erhalten $M$ in Bezug auf eine Matrixnorm von $M$ oder Elemente von $M$ ? Ich will zB

λ_{Mindest} \geq F (“ M “)

$\lambda_{\text{min}} \geq f(\lVert M \rVert)$ oder etwas ähnliches.

M

$M$ ist eine Gram-Matrix, falls das hilft.

D. Chen

Hallo @ampeo, hast du die Antwort gefunden? Ich habe die gleiche Frage und alle Grenzen, die ich bekommen kann, sind negativ, was für eine PD-Matrix keinen Sinn ergibt.

Benutzer7530

Es gibt eine offensichtliche Grenze in Bezug auf die Operatornorm von

M^{- 1}

$M^{-1}$ , Natürlich.

Benutzer91684

Wie user7530 schrieb,

λ_{m i n}

$\lambda_{min}$ hängt wesentlich davon ab

M^{- 1}

$M^{-1}$ . Außerdem eine Ungleichung in der Form zu finden

λ_{m i n} \geq f (| | M | |)

$\lambda_{min}\geq f(||M||)$ ist jenseits aller Hoffnung. Lassen Sie zum Beispiel

A_{ϵ} = d i a g (1, ϵ)

$A_{\epsilon}=diag(1,\epsilon)$ . Wir sollten für jeden erhalten

ϵ > 0

$\epsilon >0$ ,

ϵ \geq f (1)

$\epsilon\geq f(1)$ (für

| | . | |_{2}

$||.||_2$ ).

harte Mathematik

Untere Grenzen für den kleinsten Eigenwert einer positiv bestimmten Matrix beziehen sich auf Schätzungen der Bedingungszahl, für die siehe meine Antwort auf eine SciComp.SE-Frage .

Antworten (2)

Untere Grenze des kleinsten Eigenwerts einer (symmetrischen positiv-definiten) Matrix

Hallo @ampeo, hast du die Antwort gefunden? Ich habe die gleiche Frage und alle Grenzen, die ich bekommen kann, sind negativ, was für eine PD-Matrix keinen Sinn ergibt.
Es gibt eine offensichtliche Grenze in Bezug auf die Operatornorm von $M^{-1}$ , Natürlich.
Wie user7530 schrieb, $\lambda_{min}$ hängt wesentlich davon ab $M^{-1}$ . Außerdem eine Ungleichung in der Form zu finden $\lambda_{min}\geq f(||M||)$ ist jenseits aller Hoffnung. Lassen Sie zum Beispiel $A_{\epsilon}=diag(1,\epsilon)$ . Wir sollten für jeden erhalten $\epsilon >0$ , $\epsilon\geq f(1)$ (für $||.||_2$ ).
Untere Grenzen für den kleinsten Eigenwert einer positiv bestimmten Matrix beziehen sich auf Schätzungen der Bedingungszahl, für die siehe meine Antwort auf eine SciComp.SE-Frage .

Said Manaffam · Answer 1

Es gibt eine Untergrenze für den minimalen Eigenwert der symmetrischen pd-Matrix, die in [Applied Math. Sc., Bd. 4, nr. 64], die auf der Frobenius-Norm (F) und der Euklidischen Norm (E) basiert

λ_{M ich N} > \sqrt{\frac{| | A | |_{F}^{2} - N | | A | |_{E}^{2}}{N (1 - | | A | |_{E}^{2} / | D e T (A) |^{2 / N})}}

$\lambda_{min} \gt \sqrt{\frac{||A||_F^2-n||A||_E^2}{n(1-||A||_E^2/|det(A)|^{2/n})}}$

wenn es hilft.

[Referenz]: KH Schindler, "Eine neue untere Grenze für den minimalen singulären Wert für reelle nicht-singuläre Matrizen durch eine Matrixnorm und -determinante", Journal of Applied Mathematical Sciences, Vol. 3, No. 4, Nr. 64, 2010.

Anstatt neu zu posten (mit den gleichen "Tippfehlern", wie ich das beurteilen kann), hätten Sie diesen, Ihren ursprünglichen Post, bearbeiten können. Siehe den Link "Bearbeiten" direkt unter der Antwort. Ich habe die nicht übereinstimmende Klammer im Nenner erraten; Bitte überprüfen Sie, ob es richtig ist.
@Saeed Danke dafür! Besteht die Möglichkeit, den Artikel bei Google Scholar zu finden und einen Link zu posten? Ich kann es nirgendwo finden (nicht sicher, ob Sc. für etwas kurz ist ...)
@Elements Sie können auch den Titel in Google Scholar suchen: "Eine neue untere Grenze für den minimalen singulären Wert für reale nicht singuläre Matrizen durch eine Matrixnorm und -determinante" Angewandte mathematische Wissenschaften, Vol. 4, Nr. 64
@SaeedManaffam Die Schindler-Bindung (auch wie in der veröffentlichten Arbeit angegeben) ist falsch. Sie können sich den Beweis ansehen und die elementaren Fehler erkennen, die der Autor gemacht hat. Siehe auch meine Antwort auf math.stackexchange.com/questions/737340/…
n=3 H = {{3, -3, 11}, {-3, 11, -27}, {11, -27, 83}} Min[Eigenvalues[H]] >= Sqrt[(Norm[H]^2 - n Norm[H]^2)/(n (1 - Norm[H]^2/Abs[Det[H]]^(2/n)))] // NWenn ich mich nirgendwo irre, funktioniert Ihre Methode nicht für die vorgeschlagene Matrix.

Evan · Answer 2

Ein kurzer Kommentar: Wenn Sie Diagonaldominanz haben, dann bringt Ihnen Gerhsgorins Kreissatz für Eigenwerte zumindest etwas. Subtrahieren Sie also für jede Zeile den diagonalen Term von der Summe der Absolutwerte der Terme außerhalb der Diagonale und nehmen Sie das Minimum über die Zeilen. Das ist eine Grenze für den Eigenwert, der positiv sein wird (wiederum, wenn Sie diagonale Dominanz haben, die möglicherweise nicht für alle Gram-Matrizen gilt).

Untere Grenze des kleinsten Eigenwerts einer (symmetrischen positiv-definiten) Matrix

ampeo

D. Chen

Benutzer7530

Benutzer91684

harte Mathematik

Antworten (2)

Said Manaffam

harte Mathematik

Said Manaffam

Elemente

Said Manaffam

Said Manaffam

James Smithson

dtn

Evan

Warum ist hier A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T positiv definit?

Wie erhält man dieselben Eigenvektoren eines entarteten Eigenwerts, wenn sich die Matrix leicht entwickelt?

Beziehung zwischen den maximalen Eigenwerten der symmetrisch positiv definiten Matrix AAA und BAB†BAB†BAB^\dagger

Vorzeichen der Eigenwerte des Produkts von 3 Matrizen

Finden Sie alle Eigenwerte der Matrix AAA, ohne c zu berechnen. Polynom

Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Was ist der kürzeste Weg, um eine Matrix mit unbekannten Elementen und einem Eigenvektor zu lösen?

Ein linearer Algebra-Zweifel

Auflösen nach einer Diagonal positiv bestimmten Matrix: ΔΔ\Delta so dass b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC′)−1b′ΔC′(CΔC′)−1=a′DC′(CDC ′)−1b'\Delta C'(C\Delta C')^{-1}=a'DC'(CDC')^{-1}

Produkt einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix