Produkt einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix

Question

Produkt einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix

Matrizen
Mathematik
innere Produkte
Lineare Algebra
symmetrische Matrizen
schiefsymmetrische Matrizen

Schülerin W

Ich habe folgende Frage zu Matrizen, Let $S$ Und $A$ zwei sein $n \times n$ Matrizen, die jeweils symmetrisch und antisymmetrisch sind. Kann ich etwas zu den Produkten sagen? $SA$ oder $AS$ , sind sie symmetrisch oder antisymmetrisch?

Dies ist Teil eines größeren Problems, bei dem ich bereits gezeigt habe,

⟨ X, A X ⟩ = 0

$\langle x, Ax \rangle = 0$ Für

A

$A$ antisymmetrisch, aber das verlange ich

⟨ M X, A X ⟩ = 0

$\langle Mx, Ax \rangle = 0$ Welche Bedingungen könnte ich für eine Matrix M auferlegen?

M

$M$ Um dies zu erfüllen, hatte ich gehofft, dass Symmetrie ausreichen würde, oder benötige ich etwas Stärkeres wie Diagonalität?

Antworten (1)

Produkt einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix

Von innen nach außen · Answer 1

Das Matrixprodukt bewahrt weder die symmetrische noch die antisymmetrische Eigenschaft. Ein einfaches Beispiel für dieses Phänomen ist das folgende.

Wählen

S = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) Und A = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) .

$S=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix} \quad \text{and} \quad A= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}.$

Dann

S A = (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 & - 2 \\ 2 & - 1 \end{matrix})

$SA=\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & -2\\ 2 &-1 \end{pmatrix}$

was weder symmetrisch noch antisymmetrisch ist. Ähnlich,

A S = (\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 1 & - 2 \\ 2 & 1 \end{matrix})

$AS= \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 &0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 2 & 1\\ 1 &2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 & -2\\ 2 &1 \end{pmatrix}$

Auch dies ist weder symmetrisch noch antisymmetrisch.

Produkt einer symmetrischen und einer antisymmetrischen Matrix

Schülerin W

Antworten (1)

Von innen nach außen

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