Warum ist hier A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T positiv definit?

Annehmen A ∈ R N × N ist eine symmetrische und positiv definite Matrix. Für Matrix P ∈ R N × M mit M ≤ N Und Rang ( P ) = M , ist die folgende Matrix positiv definit?

A − 1 − P ( P T A P ) − 1 P T

Wenn sie nicht positiv definit ist, können wir sagen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist? Jede Idee ist willkommen.

Dieser Ausdruck scheint so etwas wie Projektion zu sein, aber wie können wir das beweisen?

@daw Du hast Recht und ich habe die Frage geändert. Danke schön.

Antworten (2)

Die Matrix ist tatsächlich positiv semidefinit. Beachten Sie, dass

(*) A − 1 − P ( P T A P ) − 1 P T = A − 1 / 2 [ ICH − [ A 1 / 2 P ] ( [ A 1 / 2 P ] T [ A 1 / 2 P ] ) − 1 [ A 1 / 2 P ] T ] A − 1 / 2 .
Für die Matrix B = A 1 / 2 , die Matrix M = ICH − B ( B T B ) − 1 B T ist positiv semidefinit, da es erfüllt M = M M T (In der Tat, M die orthogonale Projektion auf den Spaltenraum von ist B ). Als Gleichung ( ∗ ) oben zeigt, ist Ihre Matrix gleich [ A − 1 / 2 ] T M [ A − 1 / 2 ] und ist daher positiv semidefinit.

(Im Allgemeinen, wenn M ist dann positiv semidefinit C T M C muss positiv semidefinit sein).

Oh vielen Dank. Das ist ein sehr schöner Beweis!

Die Matrix ist nicht positiv definit. Wir haben

P T A ⋅ ( A − 1 − P ( P T A P ) − 1 P T ) = 0.
Wenn die Matrix positiv definit wäre, dann wäre sie invertierbar, dann würde die obige Gleichung implizieren P = 0 .

Vielen Dank für Ihre Antwort. Wenn wir die Bedingung auf positiv semidefinit lockern, ist das wahr?
Warum ist hier A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T positiv definit?
AntwortenHierDatenschutz-Bestimmungen1y, 0v