Beweisen Sie mit Algebra, dass eine Matrix idempotent ist

Da es symmetrisch ist, ist es diagonalisierbar. Es ist klar von$A$'s zweite Spalte, dass$1$ein Eigenwert ist und da die dritte Spalte minus der ersten ist,$\det A=0$, und deshalb$0$ist auch ein Eigenwert. Und$\operatorname{tr}A=2$. So,$1$ist tatsächlich ein doppelter Eigenwert. Deshalb,$A$ist ähnlich wie

$$\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix},$$ und somit ist es idempotent.

Eine Möglichkeit zu zeigen, dass ein Objekt idempotent ist, besteht darin, es zu verdoppeln, die Identität zu subtrahieren und zu prüfen, ob das Ergebnis (multiplikativ) selbstinvers ist. Zum Beispiel im$\mathbb Z/10\mathbb Z$wir haben$2×5-1\equiv-1$was selbstinvers ist, also$5$ist idempotent in$\mathbb Z/10\mathbb Z$. (Beachten Sie, dass dies in Domänen funktioniert, die nicht charakteristisch sind$4n$für positiv$n$. )

Bei diesem Problem führt das Verdoppeln und Subtrahieren der Identität zu

$\begin{bmatrix}0&0&-1\\0&1&0\\-1&0&0\end{bmatrix},$

bei der ein Austausch der ersten und dritten Zeile und der Diagonalelemente der resultierenden Diagonalmatrix trivial selbstinvers sind. Die selbstinverse Bedingung gilt also für die abgeleitete Matrix, die sicherstellt, dass die ursprüngliche Matrix idempotent ist.