Umrandetes Moll und Rang einer Matrix

Ich weiß nicht, was ein "grenzwertiger Minderjähriger" ist. Dies scheint kein Wort mit einer Standardbedeutung zu sein. Hier ist jedoch ein Theorem, das wahr ist:

Satz 1. Let$\mathbf{k}$ein Feld sein. Lassen$A\in\mathbf{k}^{u\times v}$eine Matrix sein. Im Folgenden wann immer$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\}$Und$j_{1},j_{2},\ldots,j_{\ell}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\}$, werden wir mit bezeichnen$A\left[ \dfrac{j_{1} ,j_{2},\ldots,j_{\ell}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$Die$k\times\ell$-Matrix, deren$\left( p,q\right)$-ten Eintrag ist die$\left( i_{p} ,j_{q}\right)$-ter Eintrag von$A$für jeden$\left( p,q\right) \in\left\{ 1,2,\ldots,k\right\} \times\left\{ 1,2,\ldots,\ell\right\}$.

Lassen$k\in\mathbb{N}$. Lassen$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots ,u\right\}$Und$j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\}$so sein$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}} {i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$. Gehe davon aus, dass jeder$i^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\} \setminus\left\{ i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$Und$j^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots ,v\right\} \setminus\left\{ j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\right\}$erfüllen

(1) $\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right] \right) =0$.

Dann,$\operatorname*{rank}A=k$.

Nachweisen. Nehmen Sie das Gegenteil an; dh davon ausgehen$\operatorname*{rank}A\neq k$.

Zunächst stellen wir fest, dass die Zahlen$i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}$sind verschieden (weil sonst die Matrix$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$hätte zwei gleiche Zeilen, was ergeben würde$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) =0$, widersprüchlich$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). Ebenso die Zahlen$j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}$sind verschieden.

Die Zeilen der Matrix$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind linear unabhängig (da$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). Daher die Zeilen der Matrix$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots ,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind auch linear unabhängig (da die Zeilen der Matrix$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind Fragmente der Zeilen der Matrix$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$, und daher würde jede lineare Abhängigkeitsbeziehung zwischen den letzteren eine lineare Abhängigkeitsbeziehung zwischen den ersteren ergeben). Mit anderen Worten, die$i_{1}$-ten, die$i_{2}$-ten usw., die$i_{k}$-ten Zeile der Matrix$A$sind linear unabhängig. Daher die Matrix$A$hat$k$linear unabhängige Zeilen; daher,$\operatorname*{rank}A\geq k$. Kombiniert mit$\operatorname*{rank}A\neq k$, Dies ergibt$\operatorname*{rank}A>k$. Somit ist der Zeilenabstand von$A$kann nicht einfach überspannt werden$k$seiner Zeilen (denn wenn es könnte, dann wäre seine Dimension$\leq k$, was der Tatsache widersprechen würde, dass seine Dimension ist$\operatorname*{rank}A>k$). Daher gibt es mindestens einen$i^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,u\right\} \setminus\left\{ i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}\right\}$so dass die$i^{\prime}$-te Reihe von$A$gehört nicht zur Spanne der$i_{1}$-ten, die$i_{2}$-ten usw., die$i_{k}$-ten Reihen von$A$. Reparieren Sie eine solche$i^{\prime}$. Wir wissen das:

• Der$i^{\prime}$-te Reihe von$A$gehört nicht zur Spanne der$i_{1}$-ten, die$i_{2}$-ten usw., die$i_{k}$-ten Reihen von$A$.

• Der$i_{1}$-ten, die$i_{2}$-ten usw., die$i_{k}$-ten Reihen von$A$sind linear unabhängig.

Wenn wir diese beiden Tatsachen kombinieren, schließen wir daraus$i_{1}$-ten, die$i_{2}$-ten usw., die$i_{k}$-th, und die$i^{\prime}$-ten Reihen von$A$sind linear unabhängig. Mit anderen Worten, die Zeilen der Matrix$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v} {i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$sind linear unabhängig. Da diese Matrix hat$k+1$Reihen, schließen wir daraus$\operatorname*{rank} \left( A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime} }\right] \right) =k+1>k$. Daher ist der Spaltenraum von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$kann nicht einfach überspannt werden$k$seiner Spalten (denn wenn es könnte, dann wäre seine Dimension$\leq k$, was der Beobachtung widersprechen würde, dass seine Dimension ist$\operatorname*{rank}\left( A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right] \right) >k$). Es existiert also mindestens eine$j^{\prime}\in\left\{ 1,2,\ldots,v\right\} \setminus\left\{ j_{1},j_{2},\ldots,j_{k}\right\}$so dass die$j^{\prime}$-te Spalte von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$gehört nicht zur Spanne der$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i^{\prime}}\right]$. Beheben Sie eine solche$j^{\prime}$.

Andererseits die Spalten der Matrix$A\left[ \dfrac{j_{1} ,j_{2},\ldots,j_{k}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind linear unabhängig (da$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k} }{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right] \right) \neq0$). Mit anderen Worten, die$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten der Matrix$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind linear unabhängig. deshalb, die$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots ,i_{k},i^{\prime}}\right]$linear unabhängig sind (weil die$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten der Matrix$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k}}\right]$sind Fragmente der$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$, und daher würde jede lineare Abhängigkeitsbeziehung zwischen den letzteren eine lineare Abhängigkeitsbeziehung zwischen den ersteren ergeben). Jetzt wissen wir das:

• Der$j^{\prime}$-te Spalte von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1} ,i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$gehört nicht zur Spanne der$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$.

• Der$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$sind linear unabhängig.

Kombinieren wir diese beiden Tatsachen, schließen wir daraus, dass die$j_{1}$-ten, die$j_{2}$-ten usw., die$j_{k}$-th, und die$j^{\prime}$-ten Spalten von$A\left[ \dfrac{1,2,\ldots,v}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k},i^{\prime}}\right]$sind linear unabhängig. Mit anderen Worten, die Spalten der Matrix$A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k} ,i^{\prime}}\right]$sind linear unabhängig. Somit,$\det\left( A\left[ \dfrac{j_{1},j_{2},\ldots,j_{k},j^{\prime}}{i_{1},i_{2},\ldots,i_{k} ,i^{\prime}}\right] \right) \neq0$. Aber das widerspricht (1) . Damit haben wir einen Widerspruch gefunden und Satz 1 ist bewiesen.