Vorzeichen der Eigenwerte des Produkts von 3 Matrizen

Question

Vorzeichen der Eigenwerte des Produkts von 3 Matrizen

Matrizen
Mathematik
symmetrische Matrizen
positiv-halbendlich
Eigenwerte-Eigenvektoren

Djekt

Ich versuche, das Vorzeichen der Eigenwerte eines bestimmten zu finden $n\times n$ symmetrische Matrix $M$ . Ich weiß, dass ich diese Matrix schreiben kann als

M = P D P^{T},

$M = PDP^T,$

mit $D$ $p\times p$ diagonal mit positiven oder Nulleinträgen und $P$ A $n \times p$ Matrix. Kann ich schlussfolgern, dass die Eigenwerte von $M$ sind positiv oder null?

Gerry Myerson

Die Anzahl der Eigenwerte von

M

$M$ ist nicht dasselbe wie die Anzahl der Einträge von

D

$D$ .

Jean Marie

Wenn

M

$M$ Ist

n \times n

$n \times n$ , stimmen wir dem zu

P

$P$ Ist

n \times p

$n \times p$ (

n

$n$ Reihen,

p

$p$ Spalten) mit

p > n

$p>n$ , wohingegen

D

$D$ Ist

p \times p

$p \times p$ ?

Gerry Myerson

@ Jean, wenn

P

$P$ Ist

n \times p

$n\times p$ , Und

D

$D$ Ist

n \times n

$n\times n$ , Dann

P D

$PD$ ist nicht definiert.

Gerry Myerson

Haben Sie versucht, Beispiele durchzuarbeiten, Djekt?

Jean Marie

@ Gerry Myerson Du hast Recht. Ich habe meinen Kommentar gerade korrigiert...

Djekt

Entschuldigung, es gab einen dummen Fehler in meiner Frage, ich habe meine Frage bearbeitet.

Jean Marie

Kannst du sagen ob

n > p

$n>p$ oder

n < p

$n<p$ ?

Djekt

In meinem Fall,

n > p

$n>p$ .

Antworten (2)

Vorzeichen der Eigenwerte des Produkts von 3 Matrizen

Die Anzahl der Eigenwerte von $M$ ist nicht dasselbe wie die Anzahl der Einträge von $D$ .
Wenn $M$ Ist $n \times n$ , stimmen wir dem zu $P$ Ist $n \times p$ ( $n$ Reihen, $p$ Spalten) mit $p>n$ , wohingegen $D$ Ist $p \times p$ ?
@ Jean, wenn $P$ Ist $n\times p$ , Und $D$ Ist $n\times n$ , Dann $PD$ ist nicht definiert.
@ Gerry Myerson Du hast Recht. Ich habe meinen Kommentar gerade korrigiert...
Entschuldigung, es gab einen dummen Fehler in meiner Frage, ich habe meine Frage bearbeitet.

md5 · Answer 1

Für alle $x\in\mathbb{R}^n$ ,

⟨ X, M X ⟩ = ⟨ X, P D P^{T} X ⟩ = ⟨ P^{T} X, D P^{T} X ⟩ = ⟨ D^{1 / 2} P^{T} X, D^{1 / 2} P^{T} X ⟩ \geq 0.

$\langle x, Mx\rangle=\langle x, PDP^T x\rangle=\langle P^T x, DP^T x\rangle=\langle D^{1/2} P^T x, D^{1/2} P^T x\rangle\ge 0.$

Also alle Eigenwerte von $M$ sind nichtnegativ.

Stefanos van Dijk · Answer 2

Ein paar Dinge, die nützlich zu beachten sind. $PP^\top$ ist symmetrisch positiv semidefinit.

Ich denke weiterhin, bezeichnen $\lambda_1,d_1$ der kleinste Eigenwert von $PP^\top$ und kleinster Eintrag der Hauptdiagonale von $D$ bzw. $\lambda_2,d_2$ für größte. Dann glaube ich $\sigma(PDP^\top)\subset[\lambda_1d_1, \lambda_2d_2]$ durch Cauchys Ungleichung auf Matrixprodukten.

Ich denke, das gibt die Antwort auf Ihr Problem.

Könnten Sie bitte einen Link / Verweis auf "Cauchys Ungleichung bei Matrixprodukten" bereitstellen?
Cauchy-Schwartz gilt für jede Norm. Als Norm nehmen $||A|| = max eigenvalue of A$ und verwenden Sie ||P^TAP|| = ||A||||P^TP||. Alternativ können Sie sich auch die @md5-Lösung ansehen, die viel klarer/konkreter ist.
Danke für die Klarstellung, ich war mir nicht sicher, ob Sie sich auf CS beziehen. Ich gehe davon aus, dass Sie mit der Version "Matrixprodukt" meinen, dass das betrachtete innere Produkt das frobenius-innere Produkt auf Matrizen ist. Wie auch immer, um ehrlich zu sein, bin ich mir nicht sicher, wie ich CS verwenden soll, um die untere Grenze des Spektrums zu beweisen.

Vorzeichen der Eigenwerte des Produkts von 3 Matrizen

Djekt

Gerry Myerson

Jean Marie

Gerry Myerson

Gerry Myerson

Jean Marie

Djekt

Jean Marie

Djekt

Antworten (2)

md5

Stefanos van Dijk

Surb

Stefanos van Dijk

Surb

Warum ist hier A−1−P(PTAP)−1PTA−1−P(PTAP)−1PT A^{-1} - P \left( P^TAP \right)^{-1}P^T positiv definit?

Untere Grenze des kleinsten Eigenwerts einer (symmetrischen positiv-definiten) Matrix

Wie erhält man dieselben Eigenvektoren eines entarteten Eigenwerts, wenn sich die Matrix leicht entwickelt?

Ganzzahlige Eigenwerte in Matlab

Determinante einer positiven semidefiniten Matrix

Finden Sie alle Eigenwerte der Matrix AAA, ohne c zu berechnen. Polynom

Spektralradius eines vollständigen zweigeteilten Graphen

Konstruieren Sie eine reelle Matrix für gegebene komplexe Eigenwerte

Was ist der kürzeste Weg, um eine Matrix mit unbekannten Elementen und einem Eigenvektor zu lösen?

Ein linearer Algebra-Zweifel