Ein linearer Algebra-Zweifel

Question

Ein linearer Algebra-Zweifel

Mathematik
Vektorräume
Lineare Algebra
symmetrische Matrizen
Projektionsmatrizen
Eigenwerte-Eigenvektoren

roydiptajit

Angenommen, wir haben eine $3$ -dim Vektorraum $V$ und wir wählen einen beliebigen nicht orthogonalen Basissatz ${v_1,v_2,v_3}$ . Jetzt betrachten wir die lineare Transformation, die jeden Vektor hineinprojiziert $V$ zu überspannen $(v_1,v_2)$ . Eindeutig ist die Matrixdarstellung für diese Transformation

[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ . Die dem Eigenwert entsprechenden Eigenvektoren

1

$1$ Sind

v_{1}, v_{2}

${v_1,v_2}$ , und entsprechend

0

$0$ Ist

v_{3}

$v_3$ . Da die Matrix symmetrisch ist, sollte sie orthogonale Eigenvektoren haben. Aber

⟨ v_{1}, v_{3} ⟩

$\langle v_1,v_3\rangle$ sollten nicht Null sein, da sie nicht orthogonal sind. Warum ist das?

Sobi

Die Matrix, die Sie geschrieben haben, bezieht sich auf die Basis

{v_{1}, v_{2}, v_{3}}

$\{v_1,v_2,v_3\}$ . Das ist alles. Die Eigenvektoren für die Matrix, die Sie geschrieben haben, sind

e_{1}, e_{2}

$e_1,e_2$ Und

e_{3}

$e_3$ . Mit

e_{1}, e_{2}

$e_1,e_2$ entsprechend Eigenwert 1 und

e_{3}

$e_3$ entspricht 0.

Gerry Myerson

Die Matrix, die Sie aufgeschrieben haben, stellt die Transformation in Bezug auf die Basis dar $v_1,v_2,v_3$ . In Bezug auf diese Grundlage

v_{1}

$v_1$ Ist

(1, 0, 0)

$(1,0,0)$ Und

v_{3}

$v_3$ Ist

(0, 0, 1)

$(0,0,1)$ , und diese sind orthogonal. (@Soby hat mich um ein paar Sekunden geschlagen!)

roydiptajit

@Gerry Myerson, also betrachten wir nur den Koordinatenraum in diesem, der eine Standardbasis hat und die orthonormal sind? Kann ich sagen, dass jede symmetrische Matrix mit nicht orthogonaler Basis orthonormale Eigenvektoren im Koordinatenraum hat, aber wenn ich die tatsächliche Basis betrachte, ist dies möglicherweise nicht der Fall? Ich bin verwirrt, wann wir den Koordinatenraum und wann den tatsächlichen Vektorraum betrachten

roydiptajit

Danke @MorganRodgers, also habe ich hier einen dummen Fehler gemacht, das hat zu meiner Verwirrung geführt.

roydiptajit

Ja, das löscht das Bild, danke an alle..

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Ein linearer Algebra-Zweifel

Die Matrix, die Sie geschrieben haben, bezieht sich auf die Basis $\{v_1,v_2,v_3\}$ . Das ist alles. Die Eigenvektoren für die Matrix, die Sie geschrieben haben, sind $e_1,e_2$ Und $e_3$ . Mit $e_1,e_2$ entsprechend Eigenwert 1 und $e_3$ entspricht 0.
Die Matrix, die Sie aufgeschrieben haben, stellt die Transformation in Bezug auf die Basis dar $v_1,v_2,v_3$ . In Bezug auf diese Grundlage $v_1$ Ist $(1,0,0)$ Und $v_3$ Ist $(0,0,1)$ , und diese sind orthogonal. (@Soby hat mich um ein paar Sekunden geschlagen!)
@Gerry Myerson, also betrachten wir nur den Koordinatenraum in diesem, der eine Standardbasis hat und die orthonormal sind? Kann ich sagen, dass jede symmetrische Matrix mit nicht orthogonaler Basis orthonormale Eigenvektoren im Koordinatenraum hat, aber wenn ich die tatsächliche Basis betrachte, ist dies möglicherweise nicht der Fall? Ich bin verwirrt, wann wir den Koordinatenraum und wann den tatsächlichen Vektorraum betrachten
Danke @MorganRodgers, also habe ich hier einen dummen Fehler gemacht, das hat zu meiner Verwirrung geführt.

Theo Bendit · Answer 1

Sie versuchen, das folgende Ergebnis aufzurufen:

Vermuten $A$ ist eine symmetrische reelle Matrix (oder eine hermitesche komplexe Matrix, wenn Sie es vorziehen). Dann sind die Eigenräume von $A$ sind orthogonal.

Das ist wahr. Die von Ihnen bereitgestellte Matrix hat orthogonale Eigenräume $\operatorname{span}\{(1, 0, 0), (0, 1, 0)\}$ Und $\operatorname{span}\{(0, 0, 1)\}$ . Beachten Sie, dass dies Unterräume von sind $\Bbb{R}^3$ , die etwas mit dem inneren Produktraum zu tun haben kann oder auch nicht $V$ . Daher ist es nicht richtig zu sagen, dass dies Eigenräume Ihres Projektionsoperators sind $P$ .

Wenn Sie das Äquivalent zum obigen Ergebnis für allgemeine innere Produkträume suchen, ist dies das Ergebnis:

Vermuten $V$ ein endlichdimensionaler innerer Produktraum ist, und $T : V \to V$ ist selbstadjungiert. Dann sind die Eigenräume von $T$ sind orthogonal.

In unserem Fall die Projektionskarte

P : A_{1} v_{1} + A_{2} v_{2} + A_{3} v_{3} \mapsto A_{1} v_{1} + A_{2} v_{2}

$P : a_1 v_1 + a_2 v_2 + a_3 v_3 \mapsto a_1 v_1 + a_2 v_2$ ist nicht selbstadjungiert, wenn

v_{3}

$v_3$ ist nicht orthogonal zu

v_{1}

$v_1$ Und

v_{2}

$v_2$ . Nehmen wir an, es ist nicht orthogonal zu

v_{1}

$v_1$ . Dann

⟨ P v_{1}, v_{3} ⟩ = ⟨ v_{1}, v_{3} ⟩ \neq 0 = ⟨ v_{1}, 0 ⟩ = ⟨ v_{1}, P v_{3} ⟩ .

$\langle Pv_1, v_3 \rangle = \langle v_1, v_3 \rangle \neq 0 = \langle v_1, 0 \rangle = \langle v_1, Pv_3\rangle.$

Wie Sie beobachtet haben, ist es also durchaus möglich, einen linearen Operator, der nicht selbstadjungiert ist, als nicht-orthonormale Basis zu einer symmetrischen (oder hermiteschen) Matrix zu nehmen. Beachten Sie nur, welche Sätze über innere Produkträume orthonormale Basen erfordern, um die Eigenschaften des inneren Produktraums zu erhalten.

Nur um das klarzustellen, wir definieren diese Operatoren zu Ende $\mathbb{C}^n$ , selbstadjungiert und symmetrisch sind gleichwertig, oder?
Um ganz klar zu sein, ein Operator $T$ auf einem endlichdimensionalen komplexen inneren Produktraum $V$ ist selbstadjungiert genau dann, wenn $[T]_\beta^\beta$ hermitesch (nicht symmetrisch!) wo ist $\beta$ ist eine orthonormale Basis für $V$ . Wenn $V = \Bbb{C}^n$ , dann die Standardmatrix für $V$ ist die Matrix für $T$ in Bezug auf die Standardbasis, die orthonormal ist, und daher $T$ ist genau dann selbstadjungiert, wenn die Standardmatrix für $T$ ist hermitesch.
Okay, also ist die orthonormale Basis das Kriterium hier, jede Basis reicht nicht aus

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roydiptajit

Sobi

Gerry Myerson

roydiptajit

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roydiptajit

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Theo Bendit

roydiptajit

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Theo Bendit

roydiptajit

Theo Bendit

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