Eigenwerte der Matrix mit großem Diagonalelement

Eine verstärkte Version des Kreissatzes von Gershgorin garantiert, dass, wenn die Kreise in disjunkte Cluster gruppiert werden, die Anzahl der Eigenwerte in jedem Cluster gleich der Anzahl der dortigen Scheiben ist. Der Beweis lautet wie folgt: Let$A=(a_{ij})$,$D=diag(a_{ii})$Und$A=D+E$. Definieren$A_t=D+tE$und stellen Sie sich eine Zunahme vor$t$von 0 auf 1 und verfolgt jeden Moment die Gershgorin-Scheiben.$A_0=D$also sind die Scheiben Punkte und jeder Eigenwert ist an jedem Punkt; zunehmend$t$vergrößert die Radien der Scheiben proportional. Versuchen Sie sich davon zu überzeugen, dass jeder Eigenwert von$A_t$, als Wurzel eines monischen Polynoms mit stetigen Koeffizienten$t$, ist ebenfalls eine stetige Funktion von$t$(insbesondere unter Berücksichtigung von Multiplizitäten). Dann muss jeder Eigenwert in jeder expandierenden Scheibe bleiben, bis sich vielleicht einige der Scheiben verbinden, in welchem ​​Fall sich die Eigenwerte innerhalb des Clusters frei bewegen können, aber NICHT nach außen zu einem anderen Cluster springen können. Somit haben wir das gewünschte Ergebnis bei$t=1$: jeder Cluster von$k$Festplatten enthalten müssen$k$Eigenwerte, Multiplizität zählen.

Abschließend zu deiner Frage, da die Scheibe zentriert ist$H_{11}$wird sehr weit weg sein$\mathbb{C}$von den anderen Platten (und einen Radius haben, der viel kleiner als der Abstand ist), muss es genau einen Eigenwert enthalten, den, der als gestartet wurde$H_{11}$selbst wann$t=0$.