Behält die Multiplikation mit der Diagonalmatrix die Vorzeichen der Eigenwerte bei?

Meine Frage lautet wie folgt:

Lassen$A$sei eine reelle Symmetrie$n\times n$Matrix und$D=\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)$sei eine diagonale Matrix, deren diagonale Einträge alle positive reelle Zahlen sind (bezeichnet als$d_1,\ldots,d_n$). Wenn$A$hat$k$positive Eigenwerte,$m$Null-Eigenwerte (dh$0$ist ein Eigenwert mit Multiplizität$m$) Und$n-m-k$negative Eigenwerte. Dann tut es$DA$gleich viele positive, null, negative Eigenwerte haben?

Intuitiv denke ich, dass diese Aussage wahr ist, denn heuristisch, wenn wir davon ausgehen$A$ebenfalls diagonal ist, sind seine diagonalen Einträge genau die Eigenwerte von$A$, und die Identität$\mathrm{diag}(d_1,\ldots,d_n)\cdot \mathrm{diag}(a_1,\ldots,a_n)=\mathrm{diag}(a_1d_1,\ldots,a_nd_n)$liefert direkt das Ergebnis. Auch ist bekannt, dass die Aussage wahr ist, wenn$A$ist positiv semidefinit. Ich bin mir jedoch nicht sicher, ob dies auch für die allgemeinen Fälle gilt, in denen$A$ist nicht notwendigerweise positiv semidefinit. Ich habe versucht, ein Gegenbeispiel zu finden, aber es hat auch nicht funktioniert.

Hat jemand Ideen?

Vielen Dank im Voraus!