Problem bezüglich Eigenraum und Rang einer Matrix

Problem: Let N , P ∈ R N × N Matrizen sein, und lassen P ≠ 0 . Nehme an, dass P = N P und das P ist diagonalisierbar. Beweise dann das N hat einen Eigenraum mit einer Dimension größer oder gleich dem Rang von P .

Versuch: Let E λ ich ein Eigenraum von sein N entspricht dem Eigenwert λ ich . Dann müssen wir das beweisen Rang ( P ) ≤ schwach ⁡ ( E λ ich ) . Seit P diagonalisierbar ist, existiert eine invertierbare Matrix B so dass B − 1 P B = D ist eine Diagonalmatrix. Wir wissen, dass die Gleichung N = Rang ( P ) + Nichtigkeit ( P ) hält immer. Jetzt habe ich versucht, den Rang zu beziehen P in den Rang eines N P , aber ich weiß nicht wie.

Wahrscheinlich meinen Sie Rang P mit Rang N in Beziehung zu setzen, denn Rang P = Rang (NP)

Antworten (2)

Nehmen Sie die erste M = Rang ( P ) Eigenwerte ein D ungleich Null sein. Dann

P = N P ⇒ B D = N B D ⇒ 1 ⋅ ( B J D J ) = N ( B J D J ) , J = 1 , … , M

Wo B J ist die Säule J von B und sind somit unabhängig. Das sagt N hat einen zugeordneten Eigenraum λ = 1 mit mindestens Rang M . Ich bin mir nicht sicher, ob Sie explizit zeigen müssen, dass es tatsächlich streng größer als sein kann M . Über diesen Teil muss ich nachdenken.

N hat immer einen Eigenraum der Dimension >= Rang P als:

N ( P e ich ) = P e ich ; ich = 1 , 2 , . . . , N

P e ich Ist ich T H Spalte von P, also sind alle Spalten von im Eigenraum von vorhanden N , entsprechend ev 1 . Das beweist das Ergebnis.

Ich glaube nicht, Diagonalität von P muss dies nachweisen.

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