Isometrie ohne Eigenwerte

Question

Isometrie ohne Eigenwerte

Isometrie
Mathematik
Lineare Algebra
Eigenwerte-Eigenvektoren

Jarno Porka

Also habe ich die Aufgabe, eine zu finden $R^2$ Isometrie ohne Eigenwerte in $\mathbb{R}$ . Das Problem ist, nun, ich verstehe Isometrien nicht wirklich, da sie sich auf Eigenwerte und Transformationsmatrizen beziehen. Ich könnte trivialerweise auf die folgende Matrix kommen:

[\begin{matrix} 1 & - 1 \\ \frac{1}{4} & 1 \end{matrix}]

$\begin{bmatrix}1 & -1\\ \frac{1}{4} & 1\end{bmatrix}$

Der Eigenwert wäre nun:

\begin{aligned} (1 - λ)^{2} - (- \frac{1}{2}) & = 0 \\ \frac{5}{4} - 2 λ + λ^{2} & = 0 \\ λ & = \frac{2 \pm \sqrt{(- 2)^{2} - 4 \cdot \frac{5}{4}}}{2} \\ λ & = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 5}}{2} \end{aligned}

$\begin{align} (1 - \lambda)^2 - (-\frac{1}{2}) &= 0\\ \frac{5}{4} - 2\lambda + \lambda^2 &= 0\\ \lambda &= \frac{2\pm\sqrt{(-2)^2-4\cdot\frac{5}{4}}}{2}\\ \lambda &= \frac{2\pm\sqrt{4-5}}{2} \end{align}$

Das hätte einen komplexen Eigenwert (von $1 \pm \frac{i}{2}$ ), aber das ist ganz sicher nicht von absolutem Wert 1. Da $a$ in der Gleichung immer 1 ist, müsste ich mir wohl Zahlen ausdenken, die daraus resultieren $\sqrt{2} + \sqrt{2}i$ so dass der Absolutwert tatsächlich 1 wäre.

Allerdings hat das nicht wirklich viel mit der Definition einer Isometrie zu tun, die durch den inneren Produktraum definiert ist: Ich kann den Zusammenhang zwischen dem Eigenwert und dem inneren Produktraum nicht wirklich finden. Ich denke, meine Frage ist, wie gehe ich vor, um eine Isometrie zu formulieren, die auch alle diese Bedingungen erfüllt?

Dietrich Bürde

Ich nehme an, Sie kennen den Witz: „Die Nummer, die Sie gewählt haben, ist imaginär. Bitte drehen Sie Ihr Telefon um

90^{0}

$90^0$ ."

Antworten (3)

Isometrie ohne Eigenwerte

Ich nehme an, Sie kennen den Witz: „Die Nummer, die Sie gewählt haben, ist imaginär. Bitte drehen Sie Ihr Telefon um $90^0$ ."

Jose Carlos Santos · Answer 1

Lassen $f\colon\Bbb R^2\longrightarrow\Bbb R^2$ sei eine Isometrie. Dann beides $f(1,0)$ Und $f(0,1)$ Norm haben $1$ . Da Isometrien Winkel beibehalten, $f(1,0)$ Und $f(0,1)$ sind orthogonal. Also die Matrix von $f$ in Bezug auf die Standardbasis ist entweder die Form

\begin{matrix} (1) & [\begin{matrix} A & B \\ B & - A \end{matrix}] \end{matrix}

$\begin{bmatrix}a&b\\b&-a\end{bmatrix}\tag1$ oder des Formulars

\begin{matrix} (2) & [\begin{matrix} A & - B \\ B & A \end{matrix}], \end{matrix}

$\begin{bmatrix}a&-b\\b&a\end{bmatrix},\tag2$ mit

a^{2} + b^{2} = 1

$a^2+b^2=1$ . Wenn es die Form hat

(1)

$(1)$ , Dann

f

$f$ hat reelle Eigenwerte:

\pm \sqrt{a^{2} + b^{2}}

$\pm\sqrt{a^2+b^2}$ . Andererseits, wenn es die Form hat

(2)

$(2)$ , dann sind seine Eigenwerte

a \pm b i

$a\pm bi$ , die genau dann reell sind, wenn

b = 0

$b=0$ (also genau dann wenn

f = \pm {Id}_{2}

$f=\pm\operatorname{Id}_2$ ).

Kavi Rama Murthy · Answer 2

Drehung um $90^{0}$ ist eine Isometrie, die keine reellen Eigenwerte hat. Wenn $x$ ist ein Vektor, so dass seine Rotation um $90^{0}$ ist parallel zu $x$ Dann $x$ muss sein $0$ . Diese lineare Transformation hat die Form $T(x,y)=(-y,x)$ . Die Matrix ist $A =\begin{bmatrix} 0 \,-1\\ 1\,\, \, \, 0 \end{bmatrix}$

Mo Pol Bol · Answer 3

Vielleicht interessiert Sie das Drei-Reflexions-Theorem $^*$ , die besagt, dass jede Isometrie ein Produkt von höchstens drei Spiegelungen ist, und die verwendet werden kann, um Isometrien der Ebene vollständig zu klassifizieren:

Eine Isometrie ist entweder eine Spiegelung oder eine Gleitspiegelung, eine Translation oder eine Rotation.

Daher hat jede Isometrie eines der folgenden:

Eine Linie von Fixpunkten.
Keine Fixpunkte und eine einzige unveränderliche Linie.
Keine Fixpunkte und eine parallele Familie unveränderlicher Linien.
Ein einziger Fixpunkt.

Von oben sind es deutliche Drehungen um den Ursprung, durch einen Winkel $\theta\neq 0\pmod \pi$ , können keine reellen Eigenwerte haben. Um dies zu beweisen, lassen Sie

R_{θ} = [\begin{matrix} \cos θ & - Sünde θ \\ Sünde θ & \cos θ \end{matrix}]

$r_{\theta}=\begin{bmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{bmatrix}$ eine Drehung durch sein

0 < θ \leq 2 π

$0\lt\theta\leq 2\pi$ dann Radiant

λ

$\lambda$ ein Eigenwert bedeutet, dass er die charakteristische Gleichung erfüllt

det (R_{θ} - λ 1) = 0 ⟹ (\cos θ - λ)^{2} + {Sünde}^{2} θ = 0

$\det (r_{\theta}-\lambda\mathbf{1})=0\implies (\cos\theta - \lambda)^2 +\sin^2\theta=0$

⟹ \cos θ - λ = \pm ich Sünde θ

$\implies \cos\theta - \lambda=\pm i\sin\theta$

⟹ λ = C Ö S θ \pm ich Sünde θ = e^{\pm ich θ},

$\implies \lambda=cos\theta\pm i\sin\theta=e^{\pm i\theta},$ was genau wann real ist

θ

$\theta$ gleich

π

$\pi$ oder

2 π

$2\pi$ .

Es ist natürlich zu fragen, ob irgendwelche anderen Isometrien keine reellen Eigenwerte haben. Reflexionen und Translationen haben beide sichtbare reelle Eigenwerte, sodass uns nur Gleitreflexionen übrig bleiben. Unter erneuter Berufung auf die charakteristische Gleichung stellt sich heraus, ob

\bar{G} = [\begin{matrix} A & B \\ C & D \end{matrix}]

$\overline{g}=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix}$ ist die Matrix einer Gleitreflexion

,^{* *}

$,^{**}$ dann die Eigenwerte von

\bar{g}

$\overline{g}$ Sind

\frac{A + D \pm \sqrt{(A + D)^{2} + 4}}{2},

$\frac{a+d\pm\sqrt{(a+d)^2+4}}{2},$ die eindeutig echt sind. Daher

Die einzigen Isometrien der Ebene ohne reelle Eigenwerte sind Drehungen um $O$ durch einen Winkel $\theta\neq 0\pmod{\pi}$ .

$*$ Siehe zB Geometry of Surfaces von John Stillwell.

$**$ Um Isometrien wie auszudrücken $\overline{g}$ als Single $2\times 2$ Matrix müssen wir die Ebene "erweitern", indem wir einen Punkt im Unendlichen hinzufügen, um die sogenannte erweiterte oder projektive Ebene zu bilden $\mathbb{CP}^1=\mathbb{C}\cup\{\infty\}$ . Damit ist die Matrix gemeint $\overline{g}$ ist eigentlich ein Element der projektiven speziellen linearen Gruppe $PSL(2,\mathbb{R})$ .

Isometrie ohne Eigenwerte

Jarno Porka

Dietrich Bürde

Antworten (3)

Jose Carlos Santos

Kavi Rama Murthy

Mo Pol Bol

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