Entspricht jedem Eigenraum der äußeren Potenz ⋀kA⋀kA\bigwedge^k A ein invarianter Unterraum?

Gute Frage. Notieren Sie sich das zunächst$\mathbb{C}$, kann jeder Operator bezüglich einer geeigneten Basis durch eine obere Dreiecksmatrix dargestellt werden. Dies impliziert, dass jeder Betreiber$A$hat invariante Unterräume aller möglichen Dimensionen, daher ist die Frage nicht interessant$\mathbb{C}$.

Um ein Gegenbeispiel zu konstruieren$\mathbb{R}$, werde ich die folgenden Beobachtungen verwenden:

1. Wenn$n$ist gerade und das charakteristische Polynom von$A$hat also keine wirklichen Wurzeln$A$hat keine ungerade Dimension$A$-invariante Unterräume. Der Grund ist, dass, wenn Sie einschränken$A$zu einer ungeraden Dimension$A$-invarianten Unterraum erhalten Sie einen Operator, der einen Eigenvektor (mit einem reellen Eigenwert) haben muss, was der Tatsache widerspricht, dass alle Wurzeln des charakteristischen Polynoms von$A$sind nicht echt.
2. Wenn die (möglicherweise komplexen) Wurzeln des charakteristischen Polynoms von$A$Sind$(\lambda_i)_{i=1}^n$(mit Multiplizität) dann die Wurzeln des charakteristischen Polynoms von$\Lambda^k(A)$Sind$(\lambda_{\alpha})$Wo$\alpha = (i_1 < \dots < i_k)$läuft über alle möglichen Multi-Indizes und$\lambda_{\alpha} := \lambda_{i_1} \dots \lambda_{i_k}$. Um dies zu sehen, nehmen Sie zuerst an, dass$A$ist ein komplexer Operator und wähle eine geordnete Basis$(e_i)_{i=1}^n$in Bezug auf welche$A$wird durch eine obere Dreiecksmatrix mit dargestellt $$Ae_i = \lambda_i e_i \mod \operatorname{span} \{ e_j \}_{j < i}.$$ Dann$\Lambda^k(A)$bezüglich der induzierten geordneten Basis dargestellt$(e_{\alpha})$(wobei die Reihenfolge auf den Multi-Indizes die lexikographische ist) durch eine obere Dreiecksmatrix mit $$\Lambda^k(A)(e_\alpha) = \lambda_{\alpha} e_{\alpha} \mod \operatorname{span} \{ e_{\beta} \}_{\beta < \alpha}.$$ Das Ergebnis für reale Operatoren ergibt sich aus der Komplexisierung unter Ausnutzung der Tatsache, dass äußere Macht und Komplexisierung pendeln.

Nun lass$\theta = \frac{2\pi}{3}$und einstellen$\alpha = e^{i\theta}$. Betrachten Sie den Operator$A \colon \mathbb{R}^6 \rightarrow \mathbb{R}^6$die bezüglich der Standardbasis durch die Blockdiagonalmatrix repräsentiert wird

$$\begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.$$

Das charakteristische Polynom von$A$Ist

$$(z - \alpha)^3(z - \overline{\alpha})^3 = (z^2 - (2 \Re{\alpha})z + |\alpha|^2)^3 = (z^2 + z + 1)^3$$ mit Wurzeln $$\alpha, \overline{\alpha}, \alpha, \overline{\alpha}, \alpha, \overline{\alpha}.$$ Die Wurzeln sind also nicht real$A$hat keinen dreidimensionalen invarianten Unterraum. Jedoch$\alpha^3 = 1$eine reelle Wurzel des charakteristischen Polynoms von ist$\Lambda^3(A)$(der Vielheit zwei) so$\Lambda^3(A)$hat zwei linear unabhängige Eigenvektoren, die notwendigerweise unzerlegbar sind.

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Bemerkung : Man kann durch primäre Zerlegung zeigen, dass ein reeller Operator, wenn er einen reellen Eigenwert hat, invariante Unterräume aller möglichen Dimensionen hat. Daher sind Gegenbeispiele nur in geraden Dimensionen möglich. Es ist eine schöne Übung zu sehen, warum man in Dimension vier kein Gegenbeispiel haben kann, also ist dies ein minimales Gegenbeispiel in Bezug auf die Dimension.