3blue1browns visuell funktionierende lineare Transformationskomposition

Question

3blue1browns visuell funktionierende lineare Transformationskomposition

Mathematik
Lineare Algebra
lineare Transformationen

Adel

Ich versuche, Schritt für Schritt die visuelle Berechnung linearer Transformationen nach 3blue1brown Kapitel 4 zu verstehen (siehe Youtube 3blue1brown ch 4 .

Hintergrund: 3blue1brown beschreibt, wie wir eine Transformation visuell erfassen können, indem wir einfach aufzeichnen, wo die Basisvektoren ( $\hat{i}, \hat{j}$ ) landen im ursprünglichen Koordinatensystem. Eine Rotation erzeugt also neue Basisvektoren:

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

wobei die erste Spalte die neue Basis für erfasst $\hat{i}$ und die zweite Spalte ist die neue Basis für $\hat{j}$ . Eine solche Transformation visuell zu verfolgen ist einfach. Das Durchführen von zwei Transformationen sollte zu ähnlichen Ergebnissen führen. Aber ich bekomme keine konsistenten Ergebnisse.

Nehmen Sie zum Beispiel die beiden Transformationen "zuerst eine Drehung, dann eine bloße Transformation" - siehe den Link oben für visuelle Darstellungen. Ich interpretiere dies als erste Drehung und zeichne dieses neue Koordinatensystem: Die neue x-Achse zeigt vertikal und die y-Achse zeigt horizontal. Nennen Sie die neuen Basisvektoren $\hat{i_r}$ Und $\hat{j_r}$ . Jetzt machen wir eine reine Transformation in diesem neuen Koordinatensystem und notieren wo $\hat{i_r}$ Und $\hat{j_r}$ Land: Nennen Sie diese neuen Basisvektoren $\hat{i_s}$ Und $\hat{j_s}$ . Ich notiere wo $\hat{i_s}$ Und $\hat{j_s}$ Land im ursprünglichen (nicht transformierten) Koordinatensystem. Dies würde mir eine neue (Zusammensetzungs-) Matrix geben:

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array} \right]$

Dies ist offensichtlich falsch, da die Zusammensetzungsmatrix lauten sollte:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Eine schiere Transformation wird dargestellt durch:

$\left[\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \\ \end{array} \right]$

Eine Rotationstransformation durch,

$\left[\begin{array}{cc} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} \right]$

Warum geht diese visuelle Vorgehensweise Schritt für Schritt nicht auf? Seltsamerweise erhalten Sie tatsächlich die erwarteten Ergebnisse, wenn Sie diese beiden linearen Transformationen rückwärts durchführen. Mit anderen Worten, die visuelle Berechnung von "zuerst eine Drehung durchführen, dann eine bloße Transformation durchführen" wird die richtige Antwort liefern, wenn wir zuerst eine Scherung durchführen, dann eine Drehung im bloßen Koordinatensystem durchführen und dann aufzeichnen, wo die Basisvektoren landen im ursprünglichen (nicht transformierten) Koordinatensystem. Dies ist jedoch kontraintuitiv, da es bei linearen Transformationen auf die Reihenfolge ankommt.

Ihre Eingabe wird geschätzt.

Brevan Ellefsen

Was ist Ihre Drehung und bloße? Sie können Ihre Berechnungen nicht überprüfen, ohne zu wissen, welche Transformation Sie darstellen möchten

Adel

Danke für deinen Beitrag. Verdeutlichung der Drehung und der reinen Transformation.

Antworten (1)

3blue1browns visuell funktionierende lineare Transformationskomposition

Was ist Ihre Drehung und bloße? Sie können Ihre Berechnungen nicht überprüfen, ohne zu wissen, welche Transformation Sie darstellen möchten
Danke für deinen Beitrag. Verdeutlichung der Drehung und der reinen Transformation.

Snjór · Answer 1

Ich denke, wir können diese Frage auf diese Weise betrachten.

Die Matrix, die die Rotation ausführt, ist dann

T = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$T = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

Dann führen wir die Schertransformation durch. Im gedrehten System werden die Koordinaten zweier Basisvektoren $\hat{i}=\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}$ Und $\hat{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$ . Die Transformation ist also

S = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix}$

Aber wir befinden uns im transformierten System. Wenn wir diese Scherung im ursprünglichen System sehen, wäre es so

T \cdot S = [\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 0 \\ - 1 & 1 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}]

$T\cdot{S} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -1 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

das ist die Zusammensetzung von zwei Transformationen.

Hoffe, das wird helfen.

Aktualisieren:

Wenn wir über einen Vektor sprechen, sagen wir: $v = \begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ , wir sprechen darüber in der Standardbasis. Dh, $v = 3\hat{i} + 4\hat{j}$ oder $v=\begin{bmatrix}\hat{i}&\hat{j}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}$ .

Zuerst machen wir die Drehung.

Basisvektoren ändern sich von $\hat{i}$ , $\hat{j}$ Zu $\hat{i}' = \hat{j}$ , $\hat{j}' = -\hat{i}$ .

T = [\begin{matrix} {\hat{ich}}^{'} & {\hat{J}}^{'} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \hat{J} & - \hat{ich} \end{matrix}]

$T = \begin{bmatrix} \hat{i}' & \hat{j}' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{j} & -\hat{i} \end{bmatrix}$

Dann führen wir die Schertransformation durch.

Hier für Basisvektoren, $\hat{i}'' = \hat{i}' - \hat{j}'$ , $\hat{j}'' = \hat{j}'$

S = [\begin{matrix} {\hat{ich}}^{″} & {\hat{J}}^{″} \end{matrix}] = [\begin{matrix} {\hat{ich}}^{'} - \hat{J^{'}} & {\hat{J}}^{'} \end{matrix}]

$S = \begin{bmatrix} \hat{i}'' & \hat{j}'' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \hat{i}' - \hat{j'} & \hat{j}' \end{bmatrix}$

Aber wie Sie sehen können, basieren unsere Basisvektoren auf $\hat{i}'$ Und $\hat{j}'$ anstatt $\hat{i}$ Und $\hat{j}$ . Dies beschreibt also nur die Schertransformation in Bezug auf das gedrehte System. Aber wir kennen die Beziehung zwischen ihnen aus der Rotationstransformation. So können wir die Transformation erhalten

T^{'} = [\begin{matrix} \hat{ich} + \hat{J} & - \hat{ich} \end{matrix}]

$T'= \begin{bmatrix} \hat{i} + \hat{j} & -\hat{i} \end{bmatrix}$

die eine Rotation und eine Scherung direkt beschreibt.

Danke @Snjór! Ich denke, wo ich feststecke, ist der Teil des visuellen Sehens, dass die beiden Basisvektoren im gedrehten System tatsächlich i = (1, -1) und j = (0,1) sind - Ihre S-Matrix. Wie realisieren wir das eigentlich geometrisch? Ich sehe diese als i = (1,1), j = (-1,1). Mir fehlt ein offensichtlicher Teil ...
@Adel Ich habe meine Antwort aktualisiert. Hoffe, es macht einen Sinn.

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Adel

Brevan Ellefsen

Adel

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Snjór

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